Олимпиадная задача по планиметрии и стереометрии: четырёхугольник ABCD
Задача
Дан четырёхугольник ABCD. Его противоположные стороны AB и CD пересекаются в точке K. Его диагонали пересекаются в точке L. Известно, что прямая KL проходит через центр тяжести вершин четырёхугольника ABCD. Докажите, что ABCD – трапеция.
Решение
Предположим, что прямые AD и BC пересекаются в точке M. Пусть X, Y – точки пересечения этих прямых с прямой KL. Тогда по теореме о полном четырёхстороннике (см. задачу 158441) двойные отношения (ADMX) и (BCMY) равны –1. Следовательно, оба отношения AX : XD и BY : YC либо больше, либо меньше 1, и отрезок XY не пересекается с отрезком, соединяющим середины сторон AD и BC, на котором лежит центр тяжести вершин четырёхугольника. Поэтому условие задачи выполняется только при AD || BC.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь