Олимпиадная задача: треугольная пирамида, биссектриса, медиана, высота 8-9 классы

Олимпиадная задача по стереометрии для 8-9 класса: правильная треугольная пирамида

Задача

В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона основания ABC равна 12, ADB = 2 arctg . В треугольнике ABD проведена биссектриса BA1, а в треугольнике BCD проведены медиана BC1и высота CB1. Найдите:

объём пирамиды A1B1C1D ;
площадь проекции треугольника A1B1C1на плоскость ABC .

Решение

Пусть M – середина AB (рис.1), H – центр равностороннего треугольника ABC . Обозначим ADB = ϕ . Тогда

AH = CM = · = 4, ADM = , tg = ,

cos = = = , sin = , cos ϕ = = = .

Из прямоугольных треугольников AMD и AHD находим, что

AD = = = 10, DH = = = 2.

Тогда

V_ABCD = S_{Δ ABC}· DH = · · 2 = 24.

По теореме о биссектрисе треугольника = = = , поэтому = . Из прямоугольного треугольника CB1D находим, что = cos ϕ = , поэтому = = , а т.к. = , то

V_A1B1C1D = · · V_ABCD= · · · 24 = .

Пусть A2, B2и C2– ортогональные проекции точек соответственно A1, B1и C1на плоскость ABC (рис.2). Точки A2, B2и C2лежат на отрезках HA , HB и HC соответственно, причём