Олимпиадные задачи по теме «Планиметрия» для 8 класса - сложность 4 с решениями

Дан треугольник <i>ABC</i>. Прямая <i>l</i> касается вписанной в него окружности. Обозначим через <i>l_a, l_b, l_c</i> прямые, симметричные <i>l</i> относительно биссектрис внешних углов треугольника. Докажите, что треугольник, образованный этими прямыми, равен треугольнику <i>ABC</i>.

Задача Паппа. III в. н.э.}На отрезке<i> AB </i>взята точка<i> C </i>и на отрезках<i> AB </i>,<i> BC </i>,<i> CA </i>как на диаметрах построены соответственно полуокружности<i> α </i>,<i> β </i>,<i> γ </i>по одну сторону от<i> AC </i>. В криволинейный треугольник, образованный этими полуокружностями, вписана окружность<i> δ</i>1, в криволинейный треугольник, образованный полуокружностями<i> α </i>,<i> β </i>и окружностью<i> δ</i>1, вписана окружность<i> δ</i>2и т.д. (окружность<i> δ_n </i>вписана в криволинейный треугольник, образованный полуокружностями<i> α </i>,<i>...

Докажите, что точки пересечения смежных триссектрис улов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника.

Противоположные стороны выпуклого шестиугольника параллельны. Hазовём <i>высотой</i> такого шестиугольника отрезок с концами на прямых, содержащих противолежащие стороны и перпендикулярный им. Докажите, что вокруг этого шестиугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда его высоты можно параллельно перенести так, чтобы они образовали треугольник.

Докажите, что композиция двух поворотов на углы, в сумме не кратные360<i>^o </i>, является поворотом. В какой точке находится его центр и чему равен угол поворота? Исследуйте также случай, когда сумма углов поворотов кратна360<i>^o </i>.

Внутри остроугольного треугольника найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна.

Докажите, что окружность, проходящая через середины трёх сторон треугольника, касается его вписанной и трёх вневписанных окружностей (теорема Фейербаха).

Фиксированы две окружности <i>w</i>₁ и <i>w</i>₂, одна их внешняя касательная <i>l</i> и одна их внутренняя касательная <i>m</i>. На прямой <i>m</i> выбирается точка <i>X</i>, а на прямой <i>L</i> строятся точки <i>Y</i> и <i>Z</i> так, что <i>XY</i> и <i>XZ</i> касаются <i>w</i>₁ и <i>w</i>₂ соответственно, а треугольник <i>XYZ</i> содержит окружности <i>w</i>₁ и <i>w</i>₂. Докажите, что центры окружностей, вписанных в треугольники <i>XYZ</i>, лежат...

Cерединные перпендикуляры к сторонам <i>BC</i> и <i>AC</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i> пересекают прямые <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Пусть точка <i>C</i> движется по описанной окружности треугольника <i>ABC</i>, оставаясь в одной полуплоскости относительно <i>AB</i> (при этом точки <i>A</i> и <i>B</i> неподвижны). Докажите, что прямая <i>MN</i> касается фиксированной окружности.

Дан правильный 17-угольник <i>A</i>₁... <i>A</i>₁₇. Докажите, что треугольники, образованные прямыми <i>A</i>₁<i>A</i>₄, <i>A</i>₂<i>A</i>₁₀, <i>A</i>₁₃<i>A</i>₁₄ и <i>A</i>₂<i>A</i>₃, <i>A</i>₄<i>A</i>₆, <i>A</i>₁₄<i>A</i>₁₅, равны.

Постройте четырёхугольник, в который можно вписать и около которого можно описать окружность, по радиусам этих окружностей и углу между диагоналями.

Дан четырёхугольник <i>ABCD</i>, противоположные стороны которого пересекаются в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Две прямые, проходящие через эти точки, пересекают стороны четырёхугольника в четырёх точках, являющихся вершинами параллелограмма. Докажите, что центр этого параллелограмма лежит на прямой, соединяющей середины диагоналей <i>ABCD</i>.

Дан треугольник <i>ABC</i> и точки <i>X, Y</i>, не лежащие на его описанной окружности Ω. Пусть <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ – проекции <i>X</i> на <i>BC, CA, AB</i>, а <i>A</i>₂, <i>B</i>₂, <i>C</i>₂ – проекции <i>Y</i>. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ на, соответственно, <i>B</i>₂<i>C</i>₂, <i>C</...

Через вершины треугольника <i>ABC</i> проводятся три произвольные параллельные прямые <i>d_a, d_b, d_c</i>. Прямые, симметричные <i>d_a, d_b, d_c</i> относительно <i>BC, CA, AB</i> соответственно, образуют треугольник <i>XYZ</i>. Найдите геометрическое место центров вписанных окружностей таких треугольников.

Треугольники <i>ABC</i> и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ имеют равные площади. Всегда ли можно построить при помощи циркуля и линейки треугольник <i>A</i>₂<i>B</i>₂<i>C</i>₂, равный треугольнику <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ и такой, что прямые <i>AA</i>₂, <i>BB</i>₂ и <i>CC</i>₂ будут параллельны?

В треугольнике<i> ABC </i>угол<i> A </i>равен60<i>^o </i>. Пусть<i> BB₁ </i>и<i> CC₁ </i> — биссектрисы этого треугольника. Докажите, что точка, симметричная вершине A относительно прямой<i> B₁C₁ </i>, лежит на стороне<i> BC </i>.

Дан равнобедренный треугольник<i> ABC </i>(<i> AB=BC </i>). Выбрана точка<i> X </i>на стороне<i> AC </i>. Окружность проходит через точку<i> X </i>, касается стороны<i> AC </i>и пересекает описанную окружность треугольника<i> ABC </i>в таких точках<i> M </i>и<i> N </i>, что прямая<i> MN </i>делит отрезок<i> BX </i>пополам и пересекает стороны<i> AB </i>и<i> BC </i>в точках<i> P </i>и<i> Q </i>. Докажите, что описанная окружность треугольника<i> BPQ </i>проходит через центр описанной окружности треугольника<i> ABC </i>.

Через каждую вершину четырехугольника проведена прямая, проходящая через центр вписанной в него окружности. Три из этих прямых обладают тем свойством, что каждая из них делит площадь четырехугольника на две равновеликие части. a) Докажите, что и четвертая прямая обладает тем же свойством. б) Какие значения могут принимать углы этого четырехугольника, если один из них равен72<i>^o </i>?

Стороны<i> BC </i>и<i> AC </i>треугольника<i> ABC </i>касаются соответствующих вневписанных окружностей в точках<i> A₁ </i>,<i> B₁ </i>. Пусть<i> A₂ </i>,<i> B₂ </i>— ортоцентры треугольников<i> CAA₁ </i>и<i> CBB₁ </i>. Докажите, что прямая<i> A₂B₂ </i>перпендикулярна биссектрисе угла<i> C </i>.

В треугольнике провели серединные перпендикуляры к его сторонам и измерили их отрезки, лежащие внутри треугольника.

  а) Все три отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равносторонний?

  б) Два отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равнобедренный?

  в) Могут ли длины отрезков равняться 4, 4 и 3?

Дан треугольник<i> ABC </i>и линейка, на которой отмечены два отрезка, равные<i> AC </i>и<i> BC </i>. Пользуясь только этой линейкой, найдите центр вписанной окружности треугольника, образованного средними линиями<i> ABC </i>.

На сторонах треугольника <i>ABC</i> внешним образом построены правильные треугольники.

Докажите, что их центры образуют правильный треугольник, причём его центр совпадает с точкой пересечения медиан треугольника <i>ABC</i>.

Нарисуйте многоугольник и точку на его границе так, что любая прямая, проходящая через эту точку, делит площадь этого многоугольника пополам.

Дан треугольник<i> ABC </i>и точка<i> P </i>внутри него.<i> A' </i>,<i> B' </i>,<i> C' </i>– проекции<i> P </i>на прямые<i> BC </i>,<i> CA </i>,<i> AB </i>. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника<i> A'B'C' </i>, лежит внутри треугольника<i> ABC </i>.

Диагональ правильного 2006-угольника <i>P</i> называется <i>хорошей</i>, если её концы делят границу <i>P</i> на две части, каждая из которых содержит нечётное число сторон. Стороны <i>P</i> также называются хорошими. Пусть <i>P</i> разбивается на треугольники 2003 диагоналями, никакие две из которых не имеют общих точек внутри <i>P</i>. Какое наибольшее число равнобедренных треугольников, каждый из которых имеет две хорошие стороны, может иметь такое разбиение?