Олимпиадная задача по планиметрии для 8-9 класса: треугольник ABC, Прокопенко

Олимпиадная задача по планиметрии: симметрия в треугольнике ABC, 8-9 класс

Задача

В треугольнике ABC угол A равен60^o . Пусть BB₁ и CC₁ — биссектрисы этого треугольника. Докажите, что точка, симметричная вершине A относительно прямой B₁C₁ , лежит на стороне BC .

Решение

Пусть I — точка пересечения биссектрис треугольника ABC . Тогда B₁IC₁ = BIC = 180^o - IBC - ICB = 180⁰ - ( ABC + ACB) / 2 = 180^o - 60^o = 120^o = 180^o - B₁AC₁ . Значит, четырёхугольник AB₁IC₁ вписан в окружность. Отсюда AC₁B₁ = AIB₁ = ABI + BAI = ( A + B) / 2(поскольку AIB₁ — внешний в Δ ABI ), и аналогично AB₁C₁ = ( A + C) / 2. Пусть описанная окружность треугольника BC₁I пересекает прямую BC в точке K (легко понять, что эта точка не может попасть на продолжение стороны BC ). Тогда IKC = 180^o - BKI = BC₁I = 180^o - AC₁I = AB₁I = 180^o - IB₁C , то есть четырёхугольникIB₁CKтакже вписан. Наконец, поскольку четырёхугольники AB₁IC₁ , BC₁IK и CKIB₁ вписаны, мы имеем KC₁B₁ = KC₁I + IC₁B₁ = KBI + IAB₁ = ( B + A) / 2 = AC₁B₁ , и аналогично KB₁C₁ = KB₁I + IB₁C₁ = ( C + A) / 2 = AB₁C₁ . Значит, треугольники AB₁C₁ и KB₁C₁ равны по стороне B₁C₁ и двум прилежащим к ней углам. Тогда они симметричны относительно B₁C₁ , а тогда и точки A и K также симметричны. Поскольку точка K лежит на BC , решение закончено.