Олимпиадная задача Маркелова: Многоугольник с особой точкой на границе

Пусть нужная нам точка на границе многоугольника — O . Построим сам многоугольник. Разделим плоскость на 4 прямых угла с вершинами в точке  O . Построим равнобедренный прямоугольный треугольник AOB с вершиной в точке  O и катетами, лежащими на сторонах одного из прямых углов.

Построим равнобокую трапецию DEFG с боковыми сторонамиDE=FG , лежащими на сторонах соседнего прямого угла, так, чтоOD=OG и площадь трапеции равна площади треугольника AOB . Из условия равенства площадей

S(Δ OAB)=S(DEFG)=S(Δ OEF)-S(Δ ODG)

OB²=OE²-OD²

OE²=OB²+OD²

При этом D нужно выбрать в пределах отрезка OB ближе к точке D . Аналогичным образом построим трапеции IJKL и MNPQ . Отрезки OA и QP при этом не должны пересекаться, что можно обеспечить соответствующим выбором расположений трапеций. На приведённом рисункеOA=OB=5,OE=OF=6,OJ=OK=7иON=OP=8, в том, что OA и QP не пересекаются, а остальные соседние боковые стороны треугольника и трапеций, наоборот, частично совпадают, можно убедиться с помощью непосредственных вычислений.

Полученный многоугольник OABEFJKNPQMLIGD и точка O на его границе удовлетворяет условию задачи. Покажем, что прямая XZ делит площадь нашего многоугольника на равные части. Площади трапеций DEFG и MNPQ , расположенных по разные стороны прямой  XZ , равны по построению. Эта прямая также делит в одинаковом соотношении площади треугольника OAB и трапеции IJKL (а поскольку площади этих фигур равны по построению, прямая делит каждую из них на части, площади которых соответственно равны площадям частей другой фигуры). В самом деле, треугольники OAB и OJK подобны; кроме того, они равнобедренны, а прямая XZ проходит через вершину каждого из этих треугольников, образуя одинаковые углы с одной из боковых сторон, и, следовательно, делит их площади в одинаковом отношении. То же верно про треугольники OAB и OIL , поэтому прямая XZ делит их площади в том же отношении. Ну а площади частей трапеции IJKL равны разностям площадей соответствующих частей треугольников OJK и OIL . Итак, мы видим, что по разные стороны от прямой XZ оказались части многоугольника соответственно равных площадей, поэтому суммарные площади также равны — прямая действительно делит площадь многоугольника пополам. В случае, если прямая пересекает трапеции DEFG и MNPQ , доказательство строится аналогично. Случаи вертикального и горизонтального расположения секущей прямой являются тривиальными. Как до такого решения можно догадаться? Фактически мы придумали два независимых решения, каждое — для своих двух вертикальных углов координатной плоскости. Причём одно из решений выбрали таким, чтобы нужная по условию задачи точка как раз была на его границе. А затем просто "подогнали края" — так, чтобы решения "цеплялись друг за друга" во всех местах, кроме одного.

Ответ задачи отсутствует