Олимпиадные задачи по теме «Многочлены» для 11 класса

Найдите наибольшее значение выражения  <i>ab + bc + ac + abc</i>,  если  <i>a + b + c</i> = 12  (<i>a, b</i> и <i>с</i> – неотрицательные числа).

Дан многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) с целыми коэффициентами. Известно, что  <i>Р</i>(1) = 2013,  <i>Р</i>(2013) = 1,  <i>P</i>(<i>k</i>) = <i>k</i>,  где <i>k</i> – некоторое целое число. Найдите <i>k</i>.

Коэффициенты квадратного уравнения  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0  удовлетворяют условию  2<i>a</i> + 3<i>b</i> + 6<i>c</i> = 0.

Докажите, что это уравнение имеет корень на интервале  (0, 1).

На какую наибольшую степень двойки делится число  10²⁰ – 2²⁰?

Даны многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) и такие числа  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, <i>b</i>₁, <i>b</i>₂, <i>b</i>₃,  что  <i>a</i>₁<i>a</i>₂<i>a</i>₃ ≠ 0.  Оказалось, что  <i>P</i>(<i>a</i>₁<i>x + b</i>₁) + <i>P</i>(<i>a</i>₂<i>x + b</i>₂) = <i>P</i>(<i>a</i><sub>3&lt...

На координатной плоскости нарисовано <i>n</i> парабол, являющихся графиками квадратных трёхчленов; никакие две из них не касаются. Они делят плоскость на несколько областей, одна из которых расположена над всеми параболами. Докажите, что у границы этой области не более  2(<i>n</i> – 1)  углов (то есть точек пересечения пары парабол).

Изначально на доске были написаны одночленs  1, <i>x, x</i>², ..., <i>xⁿ</i>.  Договорившись заранее, <i>k</i> мальчиков каждую минуту одновременно вычисляли каждый сумму каких-то двух многочленов, написанных на доске, и результат дописывали на доску. Через <i>m</i> минут на доске были написаны, среди прочих, многочлены  <i>S</i>₁ = 1 + <i>x,  S</i>₂ = 1 + <i>x + x</i>²,  <i>S</i>₃ = 1 + <i>x + x</i>² + <i>x</i>³,  ...,  <i>S_n</i> = 1 + <i>x + x</i>² + ... + <i>xⁿ</i>.  Докажите...

Каждые два из действительных чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, <i>a</i>₄, <i>a</i>₅ отличаются не менее чем на 1. Оказалось, что для некоторого действительного <i>k</i> выполнены равенства   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116765/problem_116765_img_2.gif">   Докажите, что  <i>k</i>² ≥ ²⁵/₃.

Для заданных значений <i>a, b, c</i> и <i>d</i> оказалось, что графики функций  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116697/problem_116697_img_2.gif">  и  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116697/problem_116697_img_3.gif">  имеют ровно одну общую точку. Докажите, что графики функций  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116697/problem_116697_img_4.gif">  и  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116697/problem_116697_img_5.gif">  также имеют ровно одну общую точку.

Даны два различных приведённых кубических многочлена <i>F</i>(<i>x</i>) и <i>G</i>(<i>x</i>). Выписали все корни уравнений  <i>F</i>(<i>x</i>) = 0,  <i>G</i>(<i>x</i>) = 0,  <i>F</i>(<i>x</i>) = <i>G</i>(<i>x</i>). Оказалось, что выписаны восемь различных чисел. Докажите, что наибольшее и наименьшее из них не могут одновременно являться корнями многочлена <i>F</i>(<i>x</i>).

Решите уравнение в целых числах:  <i>n</i>⁴ + 2<i>n</i>² + 2<i>n</i>² + 2<i>n</i> + 1 = <i>m</i>². 

Решите неравенство:  [<i>x</i>]·{<i>x</i>} < <i>x</i> – 1.

Существуют ли такие значения <i>a</i> и <i>b</i>, при которых уравнение   <i>х</i>⁴ – 4<i>х</i>³ + 6<i>х</i>² + <i>aх + b</i> = 0  имеет четыре различных действительных корня?

В турнире по волейболу <i>n</i> команд сыграли в один круг (каждая играла с каждой по одному разу, ничьих в волейболе не бывает). Пусть <i>Р</i> – сумма квадратов чисел, задающих количество побед каждой команды, <i>Q</i> – сумма квадратов чисел, задающих количество их поражений. Докажите, что  <i>P = Q</i>.

Найдите значение выражения  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116618/problem_116618_img_2.gif"> .

Найдите все пары  (<i>p, q</i>)  простых чисел, разность пятых степеней которых также является простым числом.

Прямая пересекает график функции  <i>y = x</i>²  в точках с абсциссами <i>x</i>₁ и <i>x</i>₂, а ось абсцисс – в точке с абсциссой <i>x</i>₃. Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116488/problem_116488_img_2.gif"> .

Найдите наибольшее значение выражения  <i>x</i>²<i>y</i> – <i>y</i>²<i>x</i>,  если  0 ≤ <i>x</i> ≤ 1  и  0 ≤ <i>y</i> ≤ 1.

Барон Мюнхгаузен попросил задумать непостоянный многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) с целыми неотрицательными коэффициентами и сообщить ему только значения <i>P</i>(2) и <i>P</i>(<i>P</i>(2)). Барон утверждает, что он только по этим данным всегда может восстановить задуманный многочлен. Не ошибается ли барон?

Обозначим через [<i>n</i>]! произведение 1·11·111·...·11...11 – всего <i>n</i> сомножителей, в последнем – <i>n</i> единиц.

Докажите, что  [<i>n</i> + <i>m</i>]!  делится на произведение [<i>n</i>]!·[<i>m</i>]!.

Сравните числа   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116374/problem_116374_img_2.gif">

Целые числа <i>m</i> и <i>n</i> таковы, что сумма   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116373/problem_116373_img_2.gif">   целая. Верно ли, что оба слагаемых целые?

Существуют ли такие натуральные числа <i>a, b, c, d</i>, что  <i>a</i>³ + <i>b</i>³ + <i>c</i>³ + <i>d</i>³ = 100¹⁰⁰ ?

Сравните между собой наименьшие положительные корни многочленов  <i>x</i>²⁰¹¹ + 2011<i>x</i> – 1  и  <i>x</i>²⁰¹¹ – 2011<i>x</i> + 1.

Докажите, что ни при каких натуральных значениях <i>x</i> и <i>y</i> число  <i>x</i>⁸ – <i>x</i>⁷<i>y + x</i>⁶<i>y</i>² – ... – <i>xy</i>⁷ + <i>y</i>⁸  не является простым.