Олимпиадная задача: максимальное значение x²y – y²x, многочлены и неравенства

  x²y – y²x = xy(x – y) > 0   при  x > y > 0,  значит, наибольшее значение данного выражения (если оно достигается) положительно. Поэтому достаточно рассмотреть случай  0 < y < x ≤ 1.

  При этих ограничениях согласно неравенству Коши   4xy(x – y) ≤ x(y + (x – y))² = x³ ≤ 1.   Следовательно, наибольшее значение нашего выражения равно ¼ и достигается при  x = 1,  y = x – y = ½.

¼.