Олимпиадная задача по многочленам и теории чисел для 9-11 классов: уравнение Фольклора

  n⁴ + 2n³ + 2n² + 2n + 1 = (n⁴ + 2n³ + n²) + (n² + 2n + 1) = n²(n + 1)² + (n + 1)² = (n² + 1)(n + 1)².   В правой части уравнения стоит квадрат, поэтому

(n² + 1)(n + 1)²  – полный квадрат. Это возможно в двух случаях.

  1)  n² + 1  – полный квадрат. Тогда  n = 0,  m² = 1.

  2)  n + 1 = 0.  Тогда  n = –1,  m = 0.

n = 0,  m = ± 1  или  n = –1,  m = 0.