Олимпиадные задачи по теме «Графики и ГМТ на координатной плоскости» - сложность 1-2 с решениями

На координатной плоскости задан график функции  <i>y = kx + b</i>  (см. рисунок). В той же координатной плоскости схематически постройте график функции  <i>y = kx</i>² + <i>bx</i>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116806/problem_116806_img_2.gif"></div>

На рисунке изображен график функции  <i>у = kx + b</i> .  Сравните |<i>k</i>| и |<i>b</i>|. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116734/problem_116734_img_2.gif"></div>

На плоскости нарисовали кривые  <i>y</i> = cos <i>x</i>  и  <i>x</i> = 100 cos(100<i>y</i>)  и отметили все точки их пересечения, координаты которых положительны. Пусть <i>a</i> – сумма абсцисс, а <i>b</i> – сумма ординат этих точек. Найдите  ^<i>a</i>/_<i>b</i>.

Для заданных значений <i>a, b, c</i> и <i>d</i> оказалось, что графики функций  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116697/problem_116697_img_2.gif">  и  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116697/problem_116697_img_3.gif">  имеют ровно одну общую точку. Докажите, что графики функций  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116697/problem_116697_img_4.gif">  и  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116697/problem_116697_img_5.gif">  также имеют ровно одну общую точку.

Про функцию <i>f</i>(<i>x</i>) известно следующее: любая прямая на координатной плоскости имеет с графиком  <i>y = f</i>(<i>x</i>)  столько же общих точек, сколько с параболой  <i>y = x</i>².  Докажите, что  <i>f</i>(<i>x</i>) ≡ <i>x</i>².

Найдите такое значение $a > 1$,  при котором уравнение  $a^x = \log_a x$  имеет единственное решение.

Кривая на плоскости в некоторой системе координат (декартовой) служит графиком функции <i>y</i> = sin <i>x</i>. Может ли та же кривая являться графиком функции <i>y</i> = sin ²<i>x</i> в другой системе координат: если да, то каковы её начало координат и единицы длины на осях (относительно исходных координат и единиц длины)?

На координатной плоскости изображен график функции  <i>y = ax</i>² + <i>c</i>  (см. рисунок). В каких точках график функции  <i>y = cx + a</i>  пересекает оси координат? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116009/problem_116009_img_2.gif"></div>

Девять лыжников ушли со старта по очереди и прошли дистанцию – каждый со своей постоянной скоростью. Могло ли оказаться, что каждый лыжник участвовал ровно в четырёх обгонах? (В каждом обгоне участвуют ровно два лыжника – тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют.)

После урока на доске остался график функции  <i>y = ^k/_x</i>  и пять прямых, параллельных прямой  <i>y = kx</i>  (<i>k</i> ≠ 0).

Найдите произведение абсцисс всех десяти точек пересечения.

В магазине продают DVD-диски – по одному и упаковками двух видов (упаковки разных видов различаются по количеству и стоимости). Вася подсчитал, сколько требуется денег, чтобы купить <i>N</i> дисков (если выгоднее всего купить больше дисков, чем нужно – Вася так и делает): <div align="center"><img src="/storage/problem-media/111639/problem_111639_img_2.gif"></div>Сколько дисков было в упаковках и по какой цене упаковки продавались? Какое количество денег необходимо Васе, чтобы купить не менее 29 дисков?

Графики функций  <i>у = х</i>² + <i>ах + b</i>  и  <i>у = х</i>² + <i>сх + d</i>  пересекаются в точке с координатами  (1, 1).  Сравните  <i>а</i>⁵ + <i>d</i>⁶  и  <i>c</i>⁶ – <i>b</i>⁵.

Угол, образованный лучами  <i>y = x</i>  и  <i>y</i> = 2<i>x</i>  при  <i>x</i> ≥ 0,  высекает на параболе  <i>y = x</i>² + <i>px + q</i>  две дуги. Эти дуги спроектированы на ось <i>Ox</i>. Докажите, что проекция левой дуги на 1 короче проекции правой.

На параболе  <i>y = x</i>²  выбраны четыре точки <i>A, B, C, D</i> так, что прямые <i>AB</i> и <i>CD</i> пересекаются на оси ординат.

Найдите абсциссу точки <i>D</i>, если абсциссы точек <i>A, B</i> и <i>C</i> равны <i>a, b</i> и <i>c</i> соответственно.

На рисунке изображены графики трёх квадратных трёчленов.

Можно ли подобрать такие числа <i>a, b</i> и <i>c</i>, чтобы это были графики трёхчленов  <i>ax</i>² + <i>bx + c,  bx</i>² + <i>cx + a</i>  и  <i>cx</i>² + <i>ax + b</i>? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/109457/problem_109457_img_2.gif"></div>

Может ли вершина параболы  <i>у</i> = 4<i>х</i>² – 4(<i>а</i> + 1)<i>х + а</i>  лежать во второй координатной четверти при каком-нибудь значении <i>а</i>?

Приведите пример многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) степени 2001, для которого  <i>P</i>(<i>x</i>) + <i>P</i>(1 – <i>x</i>) ≡ 1.

Точки A и B взяты на графике функции y=1/x, x>0. Из них опущены перпендикуляры на ось абсцисс, основания перпендикуляров - H_A и H_B; O - начало координат. Докажите, что площадь фигуры, ограниченной прямыми OA, OB и дугой AB, равна площади фигуры, ограниченной прямыми AH_A, BH_B, осью абсцисс и дугой AB.

Один градус шкалы Цельсия равен 1,8 градусов шкалы Фаренгейта, при этом 0° по Цельсию соответствует 32° по шкале Фаренгейта.

Может ли температура выражаться одинаковым числом градусов как по Цельсию, так и по Фаренгейту?

 Гриша едет по маршруту длиной 100 км. В его автомобиле имеется компьютер, дающий прогноз времени, оставшегося до прибытия в конечный пункт. Это время рассчитывается исходя из предположения, что средняя скорость автомобиля на оставшемся участке пути будет такой же, как и на уже пройденном.

  Сразу же после старта компьютер показал "2 часа" и всё дальнейшее время показывал именно это число (компьютер исправен). Найдите <i>x</i>(<i>t</i>) – зависимость пути, который проехал Гриша, от времени с момента старта. Постройте график этой зависимости.

Из Цветочного города в Солнечный ведёт шоссе длиной 12 км. На втором километре этого шоссе расположен железнодорожный переезд, который три минуты закрыт и три минуты открыт и т.д., а на четвёртом и на шестом километрах расположены светофоры, которые две минуты горят красным светом и три минуты – зелёным и т.д. Незнайка выезжает из Цветочного города в Солнечный в тот момент, когда переезд только что закрылся, а оба светофора только что переключились на красный. За какое наименьшее время (в минутах) он сможет доехать до Солнечного города, не нарушая правил, если его электромобиль едет по шоссе с постоянной скоростью (Незнайка не умеет ни тормозить, ни увеличивать скорость)?

<b>Постройте график.</b>Постройте график функции<var>y</var>= 3<var>x</var>+ |5<var>x</var>− 10|.

На координатной плоскости изобразите все точки, координаты которых являются решениями уравнения:  <i>y</i>² – |<i>y</i>| = <i>x</i>² – |<i>x</i>|.

По пустыне равномерно движется караван верблюдов длиной в 1 км. Всадник проехал от конца каравана к началу и вернулся к концу каравана. За это время караван прошел 1 км. Какой путь проехал всадник, если скорость его была постоянной?

Система уравнений второго порядка

   <i>x</i>² – <i>y</i>² = 0,

   (<i>x – a</i>)² + <i>y</i>² = 1

имеет, вообще говоря, четыре решения. При каких значениях <i>a</i> число решений системы уменьшается до трёх или до двух?