Решение 1:   Примем скорость каравана за единицу, а скорость всадника обозначим v. Тогда время, затраченное на проезд от конца каравана к началу, равно     а время, затраченное на проезд от начала к концу, равно     По условию     Это уравнение преобразуется к виду

v² – 2v – 1 = 0.  Отсюда     то есть за то время, что караван проходит 1 км, всадник проедет указанное в ответе расстояние.

Решение 2:   Считая скорость каравана равной 1, нарисуем графики движения хвоста (OC) и начала (AM) каравана (см. рис.). Расстояние OA равно 1 км.

  Пусть биссектриса угла AOC пересекает AC в точке K, а AM – в точке L. Заметим, что  ∠AOL = ∠COL = ∠ALO,  следовательно треугольник OAL – равнобедренный. Значит, и треугольник CAL – равнобедренный, поэтому  ∠ACL = ½ (180° – 45°) = 67,5°.  Но и

∠CKL = ∠ACL = ∠ALK = ∠LAK = 22,5° + 45° = 67,5°,  то есть треугольник CLK – равнобедренный. Это значит, что ломаная OLC – график движения всадника. Поэтому всадник проехал расстояние  

  км.