Олимпиадные задачи по теме «Арифметические действия. Числовые тождества» для 8-9 класса

Сравните числа:  <i>А</i> = 2011·20122012·201320132013  и  <i>В</i> = 2013·20112011·201220122012.

В выражении  10 : 9 : 8 : 7 : 6 : 5 : 4 : 3 : 2 : 1  расставили скобки так, что в результате вычислений получилось целое число. Каким

а) наибольшим;  б) наименьшим может быть это число?

Докажите, что для любого натурального числа <i>N</i> найдутся такие две пары натуральных чисел, что суммы в парах одинаковы, а произведения отличаются ровно в <i>N</i> раз.

Существуют ли три попарно различных ненулевых целых числа, сумма которых равна нулю, а сумма тринадцатых степеней которых является квадратом некоторого натурального числа?

Используя в качестве чисел любое количество монет достоинством 1, 2, 5 и 10 рублей, а также (бесплатные) скобки и знаки четырех арифметических действий, составьте выражение со значением 2009, потратив как можно меньше денег.

Существуют ли 10 таких различных целых чисел, что все суммы, составленные из девяти из них – точные квадраты?

Мороженое стоит 2000 рублей. У Пети имеется  400⁵ – 399²·(400³ + 2·400² + 3·400 + 4)  рублей. Достаточно ли у Пети денег на мороженое?

Доказать, что  7 + 7² + ... + 7^4<i>K</i>,  где <i>K</i> – любое натуральное число, делится на 400.

Является ли число  4⁹ + 6¹⁰ + 3²⁰  простым?

Произведение пяти чисел не равно нулю. Каждое из этих чисел уменьшили на единицу, при этом их произведение не изменилось. Приведите пример таких чисел.

<strong>Условие 1:</strong>Среди чисел<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>есть два одинаковых. А оставшееся число -- другое. Составьте такое арифметическое выражение из букв<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>, знаков +, -, ×, : и скобок, чтобы в результате вычислений получилось это число. (Скобки, знаки и буквы можно использовать любое количество раз.)

<strong>Условие 2:</strong>Среди чисел<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>есть два одинаковых. А оставшееся число -- другое. Составьте такое арифметическое выражение из букв<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>, знаков +, -, ×, : и скобок, чтобы в результате вычислений получилось это число. (Скобки, знаки и буквы...

Укажите пять целых положительных чисел, сумма которых равна 20, а произведение — 420.

<b>Целое число.</b>Доказать, что если<img align="middle" src="/storage/problem-media/102793/problem_102793_img_2.gif">- целое число, то<img align="middle" src="/storage/problem-media/102793/problem_102793_img_3.gif">- тоже целое число.

Задано правило, которое каждой паре чисел <i>x</i>, <i>y</i> ставит в соответствие некоторое число <i>x*y</i>, причём для любых <i>x, y, z</i> выполняются тождества:

  1)  <i>x</i>*<i>x</i> = 0,

  2)  <i>x</i>(<i>y</i><i>z</i>) = (<i>x</i>*<i>y</i>) + <i>z</i>.

Найдите 1993*1932.

Существует ли такое натуральное число <i>M</i>, что никакое натуральное число, десятичная запись которого состоит лишь из нулей и не более чем 1988 единиц, не делится на <i>M</i>?

Набор чисел<var>a</var>,<var>b</var>,<var>c</var>каждую секунду заменяется на<var>a</var>+<var>b</var>−<var>c</var>,<var>b</var>+<var>c</var>−<var>a</var>,<var>c</var>+<var>a</var>−<var>b</var>. В начале имеется набор чисел 2000, 2002, 2003. Может ли через некоторое время получиться набор 2001, 2002, 2003.

Обозначим сумму трёх последовательных натуральных чисел через <i>a</i>, а сумму трёх следующих за ними чисел – через <i>b</i>.

Может ли произведение <i>ab</i> равняться 1111111111?

Чему равно произведение   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/88272/problem_88272_img_2.gif">

Попробуйте составить квадрат из набора палочек: 6 шт. по 1 см, 3 шт. по 2 см, 6 шт. по 3 см и 5 шт. по 4 см. Ломать палочки и накладывать одну на другую нельзя.

Калькулятор выполняет пять операций: сложение, вычитание, умножение, деление и извлечение квадратного корня. Найдите формулу, по которой на этом калькуляторе можно определить наименьшее из двух произвольных чисел<i>a</i>и<i>b</i>.

Может ли квадрат какого-либо натурального числа начинаться с 1983 девяток?

Петя купил в магазине "Машины Тьюринга и другие вычислительные устройства" микрокалькулятор, который может выполнять следующие операции: по любым числам<i>x</i>и<i>y</i>он вычисляет<i>x</i>+<i>y</i>,<i>x</i>−<i>y</i>и${\frac{1}{x}}$(при<i>x</i>≠ 0). Петя утверждает, что он может возвести любое положительное число в квадрат с помощью своего микрокалькулятора, сделав не более 6 операций. А вы можете это сделать? Если да, то попробуйте перемножить любые два положительных числа, сделав не более 20 операций (промежуточные результаты можно записывать, неоднократно используя их в вычислениях).

Докажите, что можно найти более тысячи троек натуральных чисел<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>, для которых выполняется равенство<i>a</i>¹⁵+<i>b</i>¹⁵=<i>c</i>¹⁶.

Доказать, что для любого целого<i>d</i>найдутся такие целые<i>m</i>,<i>n</i>, что<div align="CENTER"> <i>d</i> = $\displaystyle {\frac{n-2m+1}{m^2-n}}$. </div>

Докажите тождество <div align="CENTER"><table cellpadding="0" width="95%" align="CENTER"> <tr valign="MIDDLE"> <td width="5%"> </td> <td nowrap align="LEFT">(<i>ax</i> + <i>by</i> + <i>cz</i> + <i>du</i>)² + (<i>bx</i> + <i>cy</i> + <i>dz</i> + <i>au</i>)² + (<i>cx</i> + <i>dy</i> + <i>az</i> + <i>bu</i>)² +</td></tr> <tr valign="MIDDLE"> <td> </td> <td nowrap align="LEFT">+ (<i>dx</i> + <i>ay</i>...