Олимпиадная задача по математике на делимость и системы счисления для 8-10 классов
Задача
Существует ли такое натуральное число M, что никакое натуральное число, десятичная запись которого состоит лишь из нулей и не более чем 1988 единиц, не делится на M?
Решение
Рассмотрим M= 9...9 (221 девятка). При делении числа вида 10...0 наMполучим в остатке 10...0, в котором число нулей не больше 220. При делении наMчисла с 1988 (или меньшим) числом единиц, получим сумму не более 1988 степеней десятки. Если какая-то степень 10nвстретилась больше 10 раз, заменим десять таких остатков на 10n+1(а 10 остатков 10200– на 1). После совершения всех таких замен получим в качестве остатка 221-значное число с суммой цифр, не большей 1988. Это число меньшеM, поскольку сумма цифрMравна 9·221 = 1989.
Ответ
Существует.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь