Олимпиадные задачи по теме «Арифметические действия. Числовые тождества» для 5-9 класса

Сравните числа:  <i>А</i> = 2011·20122012·201320132013  и  <i>В</i> = 2013·20112011·201220122012.

В записи   ¼  ¼  ¼  ¼   расставьте знаки действий и, если нужно, скобки так, чтобы значение получившегося выражения равнялось 2.

Какое из чисел больше:  1 – 2 + 3 – 4 + 5 – ... + 99 – 100  или  1 + 2 – 3 + 4 – 5 + 6 – ... – 99 + 100?

В выражении  10 : 9 : 8 : 7 : 6 : 5 : 4 : 3 : 2 : 1  расставили скобки так, что в результате вычислений получилось целое число. Каким

а) наибольшим;  б) наименьшим может быть это число?

Расставьте в равенстве   2 2 2 2 = 5 5 5 5 5   знаки арифметических действий (без использования скобок) так, чтобы оно стало верным.

Буратино правильно решил пример, но испачкал свою тетрадь. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116460/problem_116460_img_2.gif"></div>За каждой кляксой скрывается одна и та же цифра, отличная от нуля. Найдите эту цифру.

Докажите, что для любого натурального числа <i>N</i> найдутся такие две пары натуральных чисел, что суммы в парах одинаковы, а произведения отличаются ровно в <i>N</i> раз.

Существуют ли три попарно различных ненулевых целых числа, сумма которых равна нулю, а сумма тринадцатых степеней которых является квадратом некоторого натурального числа?

Используя в качестве чисел любое количество монет достоинством 1, 2, 5 и 10 рублей, а также (бесплатные) скобки и знаки четырех арифметических действий, составьте выражение со значением 2009, потратив как можно меньше денег.

Существуют ли 10 таких различных целых чисел, что все суммы, составленные из девяти из них – точные квадраты?

Мороженое стоит 2000 рублей. У Пети имеется  400⁵ – 399²·(400³ + 2·400² + 3·400 + 4)  рублей. Достаточно ли у Пети денег на мороженое?

Доказать, что  7 + 7² + ... + 7^4<i>K</i>,  где <i>K</i> – любое натуральное число, делится на 400.

Является ли число  4⁹ + 6¹⁰ + 3²⁰  простым?

Произведение пяти чисел не равно нулю. Каждое из этих чисел уменьшили на единицу, при этом их произведение не изменилось. Приведите пример таких чисел.

<strong>Условие 1:</strong>Среди чисел<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>есть два одинаковых. А оставшееся число -- другое. Составьте такое арифметическое выражение из букв<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>, знаков +, -, ×, : и скобок, чтобы в результате вычислений получилось это число. (Скобки, знаки и буквы можно использовать любое количество раз.)

<strong>Условие 2:</strong>Среди чисел<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>есть два одинаковых. А оставшееся число -- другое. Составьте такое арифметическое выражение из букв<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>, знаков +, -, ×, : и скобок, чтобы в результате вычислений получилось это число. (Скобки, знаки и буквы...

Число A положительно, В отрицательно, а C равно нулю. Каков знак числа AB+ AC+BC?

Укажите пять целых положительных чисел, сумма которых равна 20, а произведение — 420.

Витя выложил из карточек с цифрами пример на сложение и затем поменял местами две карточки. Как видите, равенство нарушилось. Какие карточки переставил Витя?<img src="/storage/problem-media/103812/problem_103812_img_2.gif">

Расставьте скобки так, чтобы получилось верное равенство:<div align="CENTER"> 1 - 2^.3 + 4 + 5^.6^.7 + 8^.9 = 1995. </div>

Решите уравнение:<div align="CENTER"> 1993 = 1 + 8 : (1 + 8 : (1 - 8 : (1 + 4 : (1 - 4 : (1 - 8 : <i>x</i>))))). </div>

Автобусный билет будем считать счастливым, если между его цифрами можно в нужных местах расставить знаки четырёх арифметических действий и скобки так, чтобы значение полученного выражения равнялось 100. Является ли счастливым билет N123456?

В соревновании участвовали 50 стрелков. Первый выбил 60 очков; второй — 80; третий — среднее арифметическое очков первых двух; четвертый — среднее арифметическое очков первых трех. Каждый следующий выбил среднее арифметическое очков всех предыдущих. Сколько очков выбил 42-й стрелок? А 50-й?

На лужайке босоногих мальчиков столько же, сколько обутых девочек. Кого на лужайке больше — девочек или босоногих детей?

Используя пять троек, арифметические действия и возведение в степень, составьте числа от 16 до 20.

Используя пять троек, арифметические действия и возведение в степень, составьте числа от 11 до 15.