Задачи Подборки Авторы

Олимпиадная задача: 10 различных чисел с квадратными суммами для классов 8-10

Задача 210005 • Сложность: 2 • 8-10 класс

Задача

Существуют ли 10 таких различных целых чисел, что все суммы, составленные из девяти из них – точные квадраты?

Решение

Обозначим искомые числа и их сумму соответственно через x₁, ..., x₁₀ и S. Тогда Следовательно, Пусть n_k = 3k (k = 1, ..., 10). Тогда сумма квадратов делится на 9. Ясно, что числа удовлетворяют требованиям задачи.