Олимпиадные задачи по теме «Алгебраические уравнения и системы уравнений» для 9 класса - сложность 3 с решениями

Ненулевые числа <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> таковы, что каждые два из трёх уравнений  <i>ax</i>¹¹ + <i>bx</i>⁴ + <i>c</i> = 0,  <i>bx</i>¹¹ + <i>cx</i>⁴ + <i>a</i> = 0,  <i>cx</i>¹¹ + <i>ax</i>⁴ + <i>b</i> = 0  имеют общий корень. Докажите, что все три уравнения имеют общий корень.

Набор чисел<i>a</i>₀,<i>a</i>₁, ...,<i>a_n</i>удовлетворяет условиям:  <i>a</i>₀= 0,  0 ≤<i>a</i>_<i>k</i>+1–<i>a_k</i>≤ 1  при  <i>k</i>= 0, 1, ...,<i>n</i>– 1.  Докажите неравенство  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110096/problem_110096_img_2.gif">

Набор чисел <i>a</i>₀, <i>a</i>₁, ..., <i>a_n</i> удовлетворяет условиям:  <i>a</i>₀ = 0,  <i>a</i>_<i>k</i>+1 ≥ <i>a</i>_<i>k</i> + 1  при  <i>k</i> = 0, 1, ..., <i>n</i> – 1.  Докажите неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110087/problem_110087_img_2.gif">

Уравнение  <i>x</i>² + <i>ax + b</i> = 0  имеет два различных действительных корня.

Докажите, что уравнение  <i>x</i>⁴ + <i>ax</i>³ + (<i>b</i> – 2)<i>x</i>² – <i>ax</i> + 1 = 0  имеет четыре различных действительных корня.

Решите в положительных числах систему уравнений     <img src="/storage/problem-media/109538/problem_109538_img_2.gif">

Решить уравнение  (<i>x</i>² – <i>x</i> + 1)⁴ – 10<i>x</i>²(<i>x</i>² – <i>x</i> + 1)² + 9<i>x</i>⁴ = 0.

Решить систему уравнений     1 − <i>x</i>₁<i>x</i>₂<i>x</i>₃ = 0,

    1 + <i>x</i>₂<i>x</i>₃<i>x</i>₄ = 0,

    1 − <i>x</i>₃<i>x</i>₄<i>x</i>₅ = 0,

    1 + <i>x</i>₄<i>x</i>₅<i>x</i>₆ = 0,

      ...

    1 − <i>x</i>₄₇<i>x</i>₄₈<i>x</i>₄₉ = 0,

    1 + <i&...

Найти решение системы

  <i>x</i>⁴ + <i>y</i>⁴ = 17,

  <i>x + y</i> = 3.

Решить систему уравнений     <img align="middle" src="/storage/problem-media/108989/problem_108989_img_2.gif">

Рассматривается выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>. Пары его противоположных сторон продолжены до пересечения: <i>AB</i> и <i>CD</i> – в точке <i>P, CB</i> и <i>DA</i> – в точке <i>Q</i>. Пусть <i>l_A, l_B, l_C</i> и <i>l_D</i> – биссектрисы внешних углов четырёхугольника при вершинах соответственно <i>A, B, C, D</i>. Пусть <i>l_P</i> и <i>l_Q</i> – внешние биссектрисы углов соответственно <i>A_PD</i> и <i>A_QB</i> (то есть биссектрисы углов, дополняющих эти угл...

Натуральное число <i>n</i> таково, что  3<i>n</i> + 1  и  10<i>n</i> + 1  являются квадратами натуральных чисел. Докажите, что число  29<i>n</i> + 11  – составное.

<i>n</i> красных и <i>n</i> синих точек, строго чередуясь, разделили окружность на 2<i>n</i> дуг так, что каждые две смежные из них имеют различную длину. При этом длины каждой из этих дуг равны одному из трёх чисел: <i>a, b</i> или <i>c</i>. Докажите, что <i>n</i>-угольник с красными вершинами и <i>n</i>-угольник с синими вершинами имеют равные периметры и равные площади.

а) На доске выписано 100 различных чисел. Докажите, что среди них можно выбрать восемь чисел так, чтобы их среднее арифметическое не представлялось в виде среднего арифметического никаких девяти из выписанных на доске чисел. б) На доске выписано 100 <i>целых</i> чисел. Известно, что для любых восьми из этих чисел найдутся такие девять из этих чисел, что среднее арифметическое этих восьми чисел равно среднему арифметическому этих девяти чисел. Докажите, что все числа равны.

Функция<i>f</i>(<i>x</i>) при каждом значении  <i>x</i>∈ (− ∞, + ∞)  удовлетворяет равенству  <i>f</i>(<i>x</i>) + (<i>x</i>+ ½)<i>f</i>(1 −<i>x</i>) = 1.   а) Найдите<i>f</i>(0) и<i>f</i>(1).   б) Найдите все такие функции<i>f</i>(<i>x</i>).

Решите уравнение  (1 + <i>x + x</i>²)(1 + <i>x + ... + x</i>¹⁰) = (1 + <i>x + ... + x</i>⁶)².

Дана система уравнений:

    <img width="20" height="111" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78282/problem_78282_img_2.gif"><img width="247" height="111" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78282/problem_78282_img_3.gif">

Какие значения может принимать <i>x</i>₂₅?

Найти все действительные решения системы уравнений   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78118/problem_78118_img_2.gif">

Решить систему:     10<i>x</i>₁ + 3<i>x</i>₂ + 4<i>x</i>₃ + <i>x</i>₄ + <i>x</i>₅ = 0,     11<i>x</i>₂ + 2<i>x</i>₃ + 2<i>x</i>₄ + 3<i>x</i>₅ + <i>x</i>₆ = 0,     15<i>x</i>₃ + 4<i>x</i>₄ + 5<i>x</i>₅ + 4<i>x</i>₆ + <i>x</i>₇ = 0,     2<i>x</i><sub>1&...

Решить уравнение  <img width="98" height="39" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/76453/problem_76453_img_2.gif"> = <i>x</i>.

Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Через каждые две из них провести окружность так, чтобы три проведённые окружности имели в точках пересечения взаимно перпендикулярные касательные.

24 студента решали 25 задач. У преподавателя есть таблица размером 24×25, в которой записано, кто какие задачи решил. Оказалось, что каждую задачу решил хотя бы один студент. Докажите, что

  а) можно отметить некоторые задачи "галочкой" так, что каждый из студентов решил чётное число (в частности, может быть, нуль) отмеченных задач;

  б) можно отметить некоторые из задач знаком "+", а некоторые из остальных – знаком "–" и приписать каждой задаче некоторое натуральное число баллов так, чтобы каждый студент набрал поровну баллов за задачи, отмеченные знаками "+" и "–".

Исследуйте, сколько решений имеет система уравнений

    <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>xy = a</i>,

    <i>x</i>² – <i>y</i>² = <i>b</i>,

где <i>а</i> и <i>b</i> – некоторые данные действительные числа.

Пусть <i>p</i> – произвольное вещественное число. Найдите все такие <i>x</i>, что сумма кубических корней из чисел  1 – <i>x</i>  и  1 + <i>x</i>  равна <i>p</i>.

Перед вами часы. Сколько существует положений стрелок, по которым нельзя определить время, если не знать, какая стрелка часовая,

а какая – минутная?

Докажите, что для любых натуральных <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>_<i>k</i> таких, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66474/problem_66474_img_2.png">, у уравнения <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66474/problem_66474_img_3.png">не больше чем <i>a</i>₁<i>a</i>₂...<i>a</i>_<i>k</i> решений в натуральных числах. ([<i>x</i>] – целая часть числа <i>x</i>, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее <i>x</i>.)