Олимпиадная задача по теории чисел для 8-10 классов: квадратные уравнения и делимость

  Пусть  3n + 1 = a²,  10n + 1 = b²,  где  a, b ∈ N,  и пусть  p = 29n + 11  – простое число. Далее можно рассуждать по-разному.   Первый способ. Перемножив указанные равенства, в результате получим  30n² + 13n + 1 = (ab)².  Следовательно,  29n² + 11n = (ab)² – (n + 1)².  Отсюда

np = (ab – n – 1)(ab + n + 1).  Хотя бы один из множителей в правой части делится на p и потому не меньше p. Значит,  ab + n + 1 ≥ p,  откуда  ab ≥ 28n + 10,

(ab)² ≥ 784n² + 560n + 100.  С другой стороны,  (ab)² = 30n² + 13n + 1,  что противоречит предыдущему.   Второй способ.  (9a + 2b)(9a – 2b) = 81a² – 4b² = 81(3n + 1) – 4(10n + 1) = 243n + 77 = 7(29n + 11) = 7p.  Значит,  9a + 2b ≥ p > 29n.  Так как  9a – 2b > 0,  то

18a > 9a + 2b > 29n,  откуда  a > n, 3n + 1 = a² > n²,  n < 3.  Непосредственно проверяется, что значения  n = 1, 2  не подходят.

Ответ задачи отсутствует