Задача
Функцияf(x) при каждом значении x∈ (− ∞, + ∞) удовлетворяет равенству f(x) + (x+ ½)f(1 −x) = 1. а) Найдитеf(0) иf(1). б) Найдите все такие функцииf(x).
Решение
а) Запишем данное равенство при x = 0 и при x = 1: f(x) + ½ f(1) = 1, f(1) + 3/2 f(0) = 1. Решая эту систему, получаем f(0) = 2, f(1) = −2. б) Запишем данное равенство при x = ½ + t и при x = ½ − t: f(½ − t) + (1 − t)f(½ + t) = 1, f(½ + t) + (1 + t)f(½ − t) = 1. При t ≠ 0 эта система имеет единственное решение
f(½ + t) = – 1/t, f(½ − t) = 1/t. Следовательно, f(x) = 
при x ≠ ½.
Запишем теперь данное равенство при x = ½: f(½) + (½ + ½)f(½) = 1, то есть f(½) = ½.
Проверка того, что эта функция подходит, производится прямой подстановкой.
Ответ
f(x) = при x ≠ ½, f(½) = ½.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь