Олимпиадные задачи по теме «Алгебраические уравнения и системы уравнений» для 10-11 класса - сложность 2 с решениями

Найдите все неотрицательные решения системы уравнений:

    <i>x</i>³ = 2<i>y</i>² – <i>z</i>,

    <i>y</i>³ = 2<i>z</i>² – <i>x</i>,

    <i>z</i>³ = 2<i>x</i>² – <i>y</i>.

Решите уравнение  {(<i>x</i> + 1)³} = <i>x</i>³.

Известно, что уравнение  <i>ax</i>⁵ + <i>bx</i>⁴ + <i>c</i> = 0  имеет три различных корня. Докажите, что уравнение  <i>cx</i>⁵ + <i>bx + a</i> = 0  также имеет три различных корня.

Найти все действительные решения системы уравнений

    <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = 1,

    <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i>³ = 1.

Пусть   <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + 12<i>x</i> + 30.  Решите уравнение   <i>f</i>(<i>f</i>(<i>f</i>(<i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>))))) = 0.

Решите систему уравнений:

    <i>x</i>² + 4sin²<i>y</i> – 4 = 0,

    cos <i>x</i> – 2cos²<i>y</i> – 1 = 0.

Решите систему уравнений:

   (<i>x</i>₃ + <i>x</i>₄ + <i>x</i>₅)⁵ = 3<i>x</i>₁,

   (<i>x</i>₄ + <i>x</i>₅ + <i>x</i>₁)⁵ = 3<i>x</i>₂,

   (<i>x</i>₅ + <i>x</i>₁ + <i>x</i>₂)⁵ = 3<i>x</i>₃,

   (<i>x</i>₁ + <i>x</i>₂ + <i>x</i&g...

Найти все решения системы уравнений:   (<i>x + y</i>)³ = <i>z</i>,  (<i>y + z</i>)³ = <i>x</i>,  (<i>z + x</i>)³ = <i>y</i>.

Решите систему уравнений:     1 –<i>x</i>₁<i>x</i>₂= 0,     1 –<i>x</i>₂<i>x</i>₃= 0,     ...     1 –<i>x</i>₂₀₀₀<i>x</i>₂₀₀₁= 0,     1 –<i>x</i>₂₀₀₁<i>x</i>₁= 0.

Решить уравнение   <img align="middle" src="/storage/problem-media/79481/problem_79481_img_2.gif">

Найти все действительные решения уравнения с четырьмя неизвестными:   <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² + <i>t</i>² = <i>x</i>(<i>y + z + t</i>).

Решить уравнение  <i>x</i>³ – [<i>x</i>] = 3.

Докажите, что система уравнений     <i>x</i>₁ – <i>x</i>₂ = <i>a</i>,     <i>x</i>₃ – <i>x</i>₄ = <i>b</i>,     <i>x</i>₁ + <i>x</i>₂ + <i>x</i>₃ + <i>x</i>₄ = 1 имеет хотя бы одно положительное решение тогда и только тогда, когда  |<i>a</i>| + |<i>b</i>| < 1.

Дано уравнение  <i>xⁿ – a</i>₁<i>x</i>^<i>n</i>–1 – <i>a</i>₂<i>x</i>^<i>n</i>–2 – ... – <i>a</i>_<i>n</i>–1<i>x – a_n</i> = 0,  где  <i>a</i>₁ ≥ 0,  <i>a</i>₂ ≥ 0,  <i>a_n</i> ≥ 0.

Доказать, что это уравнение не может иметь двух положительных корней.

Найти все действительные решения системы

   <i>x</i>³ + <i>y</i>³ = 1,

   <i>x</i>⁴ + <i>y</i>⁴ = 1.

Дано 100 чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ..., <i>a</i>₁₀₀, удовлетворяющих условиям:

  <i>a</i>₁ – 4<i>a</i>₂ + 3<i>a</i>₃ ≥ 0,

  <i>a</i>₂ – 4<i>a</i>₃ + 3<i>a</i>₄ ≥ 0,

  <i>a</i>₃ – 4<i>a</i>₄ + 3<i>a</i>₅ ≥ 0,

    ...,

  <i>a</i>₉₉ – 4<i>a</i>₁₀₀ +...

Дано 100 чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ..., <i>a</i>₁₀₀, удовлетворяющих условиям:

  <i>a</i>₁ – 3<i>a</i>₂ + 2<i>a</i>₃ ≥ 0,

  <i>a</i>₂ – 3<i>a</i>₃ + 2<i>a</i>₄ ≥ 0,

  <i>a</i>₃ – 3<i>a</i>₄ + 2<i>a</i>₅ ≥ 0,

    ...,

  <i>a</i>₉₉ – 3<i>a</i>₁₀₀ +...

Найти корни уравнения   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/77992/problem_77992_img_2.gif">

Решить систему уравнений:   <i>x</i>₁<i>x</i>₂ = <i>x</i>₂<i>x</i>₃ = ... = <i>x</i>_<i>n</i>–1<i>x_n = x_nx</i>₁ = 1.

Система уравнений второго порядка

   <i>x</i>² – <i>y</i>² = 0,

   (<i>x – a</i>)² + <i>y</i>² = 1

имеет, вообще говоря, четыре решения. При каких значениях <i>a</i> число решений системы уменьшается до трёх или до двух?

Решить систему уравнений:

   3<i>xyz – x</i>³ – <i>y</i>³ – <i>z</i>³ = <i>b</i>³,

   <i>x + y + z</i> = 2<i>b</i>,

   <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = <i>b</i>².

Решить систему:

   <i>x + y + z = a,

   x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = <i>a</i>²,

   <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i>³ = <i>a</i>³.

Решить систему уравнений:

   <i>x + y = a,

   x</i>⁵ + <i>y</i>⁵ = <i>b</i>⁵.

Решить систему уравнений:

   <i>x</i>³ – <i>y</i>³ = 26,

   <i>x</i>²<i>y – xy</i>² = 6.

Решить систему уравнений:

  <i>x</i>² + <i>y</i>² – 2<i>z</i>² = 2<i>a</i>²,

  <i>x + y</i> + 2<i>z</i> = 4(<i>a</i>² + 1),

  <i>z</i>² – <i>xy</i> = <i>a</i>².