Олимпиадная задача по алгебраическим уравнениям и неравенствам для 9–11 классов

Решение 1:   Сложив все уравнения системы, получим  x(x – 1)² + y(y – 1)² + z(z – 1)² = 0.  Отсюда  x(x – 1)² = y(y – 1)² = z(z – 1)² = 0,  то есть значение каждого из неизвестных может быть равно 1 или 0 (в частности, все решения целые). Теперь из системы видно, что x, y и z – одной чётности. Значит, решений не больше двух: (0, 0, 0) и (1, 1, 1). Подстановкой проверяем, что оба подходят.

Решение 2:   Перемножив неравенства     получим  x²y²z² ≥ x²y²z².  Следовательно, во всех исходных неравенствах должно выполняться равенство, то есть  x³ = z,  y³ = x,  z³ = y.  Отсюда  z²⁷ = z,  значит,  z = 0 или 1.

(0, 0, 0),  (1, 1, 1).