Олимпиадные задачи по теме «Алгебраические уравнения и системы уравнений» для 10 класса - сложность 3-4 с решениями

Ненулевые числа <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> таковы, что каждые два из трёх уравнений  <i>ax</i>¹¹ + <i>bx</i>⁴ + <i>c</i> = 0,  <i>bx</i>¹¹ + <i>cx</i>⁴ + <i>a</i> = 0,  <i>cx</i>¹¹ + <i>ax</i>⁴ + <i>b</i> = 0  имеют общий корень. Докажите, что все три уравнения имеют общий корень.

Набор чисел<i>a</i>₀,<i>a</i>₁, ...,<i>a_n</i>удовлетворяет условиям:  <i>a</i>₀= 0,  0 ≤<i>a</i>_<i>k</i>+1–<i>a_k</i>≤ 1  при  <i>k</i>= 0, 1, ...,<i>n</i>– 1.  Докажите неравенство  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110096/problem_110096_img_2.gif">

Набор чисел <i>a</i>₀, <i>a</i>₁, ..., <i>a_n</i> удовлетворяет условиям:  <i>a</i>₀ = 0,  <i>a</i>_<i>k</i>+1 ≥ <i>a</i>_<i>k</i> + 1  при  <i>k</i> = 0, 1, ..., <i>n</i> – 1.  Докажите неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110087/problem_110087_img_2.gif">

Участникам тестовой олимпиады было предложено <i>n</i> вопросов. Жюри определяет сложность каждого из вопросов: целое положительное количество баллов, получаемых участниками за правильный ответ на вопрос. За неправильный ответ начисляется 0 баллов, все набранные участником баллы суммируются. Когда все участники сдали листки со своими ответами, оказалось, что жюри так может определить сложность вопросов, чтобы места между участниками распределились любым наперед заданным образом. При каком наибольшем числе участников это могло быть?

Существуют ли 1998 различных натуральных чисел, произведение каждых двух из которых делится нацело на квадрат их разности?

Уравнение  <i>x</i>² + <i>ax + b</i> = 0  имеет два различных действительных корня.

Докажите, что уравнение  <i>x</i>⁴ + <i>ax</i>³ + (<i>b</i> – 2)<i>x</i>² – <i>ax</i> + 1 = 0  имеет четыре различных действительных корня.

Решите в положительных числах систему уравнений     <img src="/storage/problem-media/109538/problem_109538_img_2.gif">

Значение <i>a</i> подобрано так, что число корней первого из уравнений  4^<i>x</i> – 4^–<i>x</i> = 2 cos <i>ax</i>,  4^<i>x</i> + 4^–<i>x</i> = 2 cos <i>ax</i> + 4  равно 2007.

Сколько корней при том же <i>a</i> имеет второе уравнение?

Решите уравнение:  (<i>x</i>³ – 2)(2^{sin <i>x</i>} – 1) + (2^<i>x</i>³ – 4) sin <i>x</i> = 0.

Решить уравнение  (<i>x</i>² – <i>x</i> + 1)⁴ – 10<i>x</i>²(<i>x</i>² – <i>x</i> + 1)² + 9<i>x</i>⁴ = 0.

Решить систему уравнений     1 − <i>x</i>₁<i>x</i>₂<i>x</i>₃ = 0,

    1 + <i>x</i>₂<i>x</i>₃<i>x</i>₄ = 0,

    1 − <i>x</i>₃<i>x</i>₄<i>x</i>₅ = 0,

    1 + <i>x</i>₄<i>x</i>₅<i>x</i>₆ = 0,

      ...

    1 − <i>x</i>₄₇<i>x</i>₄₈<i>x</i>₄₉ = 0,

    1 + <i&...

Найти решение системы

  <i>x</i>⁴ + <i>y</i>⁴ = 17,

  <i>x + y</i> = 3.

Решить систему уравнений     <img align="middle" src="/storage/problem-media/108989/problem_108989_img_2.gif">

На отрезке  [0, 1]  отмечено несколько различных точек. При этом каждая отмеченная точка расположена либо ровно посередине между двумя другими отмеченными точками (не обязательно соседними с ней), либо ровно посередине между отмеченной точкой и концом отрезка. Докажите, что все отмеченные точки рациональны.

Рассматривается выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>. Пары его противоположных сторон продолжены до пересечения: <i>AB</i> и <i>CD</i> – в точке <i>P, CB</i> и <i>DA</i> – в точке <i>Q</i>. Пусть <i>l_A, l_B, l_C</i> и <i>l_D</i> – биссектрисы внешних углов четырёхугольника при вершинах соответственно <i>A, B, C, D</i>. Пусть <i>l_P</i> и <i>l_Q</i> – внешние биссектрисы углов соответственно <i>A_PD</i> и <i>A_QB</i> (то есть биссектрисы углов, дополняющих эти угл...

Натуральное число <i>n</i> таково, что  3<i>n</i> + 1  и  10<i>n</i> + 1  являются квадратами натуральных чисел. Докажите, что число  29<i>n</i> + 11  – составное.

Положительные числа <i>A, B, C</i> и <i>D</i> таковы, что система уравнений

    <i>x</i>² + <i>y</i>² = <i>A</i>,

    |<i>x| + |y| = B</i>

имеет <i>m</i> решений, а система уравнений

    <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = <i>C</i>,

    |<i>x| + |y| + |z| = D</i>

имеет <i>n</i> решений. Известно, что  <i>m > n</i> > 1.  Найдите <i>m</i> и <i>n</i>.

Функция<i>f</i>(<i>x</i>) при каждом значении  <i>x</i>∈ (− ∞, + ∞)  удовлетворяет равенству  <i>f</i>(<i>x</i>) + (<i>x</i>+ ½)<i>f</i>(1 −<i>x</i>) = 1.   а) Найдите<i>f</i>(0) и<i>f</i>(1).   б) Найдите все такие функции<i>f</i>(<i>x</i>).

Решите уравнение  (1 + <i>x + x</i>²)(1 + <i>x + ... + x</i>¹⁰) = (1 + <i>x + ... + x</i>⁶)².

Найдите все положительные числа <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x</i>₁₀, удовлетворяющие при всех  <i>k</i> = 1, 2,..., 10  условию   (<i>x</i>₁ + ... + <i>x_k</i>)(<i>x_k + ... + x</i>₁₀) = 1.

Дана система уравнений:

    <img width="20" height="111" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78282/problem_78282_img_2.gif"><img width="247" height="111" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78282/problem_78282_img_3.gif">

Какие значения может принимать <i>x</i>₂₅?

Решить уравнение  <img width="98" height="39" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/76453/problem_76453_img_2.gif"> = <i>x</i>.

Для любого натурального числа <i>n</i> сумма   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73773/problem_73773_img_2.gif">   делится <nobr>на 2^<i>n</i>–1. Докажите это. </nobr>

24 студента решали 25 задач. У преподавателя есть таблица размером 24×25, в которой записано, кто какие задачи решил. Оказалось, что каждую задачу решил хотя бы один студент. Докажите, что

  а) можно отметить некоторые задачи "галочкой" так, что каждый из студентов решил чётное число (в частности, может быть, нуль) отмеченных задач;

  б) можно отметить некоторые из задач знаком "+", а некоторые из остальных – знаком "–" и приписать каждой задаче некоторое натуральное число баллов так, чтобы каждый студент набрал поровну баллов за задачи, отмеченные знаками "+" и "–".

Пусть <i>a</i> – заданное вещественное число, <i>n</i> – натуральное число,  <i>n</i> > 1.

Найдите все такие <i>x</i>, что сумма корней <i>n</i>-й степени из чисел  <i>xⁿ – aⁿ</i>  и  2<i>aⁿ – xⁿ</i>  равна числу <i>a</i>.