Олимпиадная задача Гальперина: 1998 чисел и делимость произведения на квадрат разности

Пусть набор  N = {a₁, ..., a_n}  состоит из чисел, удовлетворяющих данному условию U. Тогда набор  N₁ = {b₁, ..., b_n, b_n+1},  где  b₁ = a₁,  ...,  b_n = a_n,

b_n+1 = 0  также удовлетворяет U. Прибавив к каждому b_i число  c = (b₂ – b₁)²(b₃ – b₁)²...(b_n+1 – b_n)²,  получим набор N₂, также удовлетворяющий U, так как

((b_i + c) – (b_j + c))² = (b_i – b_j)²  и  (b_i + c)(b_j + c) = b_ib_j + c(b_j + b_j + c)  – делится на  (b_i – b_j)².  Поэтому, взяв в качестве исходного набор  N = {1, 2},  последовательным применением указанной выше процедуры мы получим набор N², состоящий из трёх, набор N₄ – из четырёх, N_2n–4 – из n чисел.

Существует.