Олимпиадные задачи по теме «Алгебраические неравенства и системы неравенств» - сложность 4-5 с решениями

Продавец хочет разрезать кусок сыра на части, которые можно будет разложить на две кучки равного веса. Он умеет разрезать любой кусок сыра в одном и том же отношении  <i>a</i> : (1 – <i>a</i>)  по весу, где  0 < <i>a</i> < 1.  Верно ли, что на любом промежутке длины 0,001 из интервала  (0, 1)  найдётся значение <i>a</i>, при котором он сможет добиться желаемого результата с помощью конечного числа разрезов?

Функция  <i>f</i> каждому вектору <i><b>v</b></i> (с общим началом в точке <i>O</i>) пространства ставит в соответствие число  <i>f</i>(<i><b>v</b></i>), причём для любых векторов <i><b>u</b>, <b>v</b></i> и любых чисел α, β значение  <i>f</i>(α<i><b>u</b></i> + β<i><b>v</b></i>)  не превосходит хотя бы одного из чисел  <i>f</i>(<i><b>u</b></i>) или  <i>f</i>(<i><b>v</b></i>). Какое наибольшее количество значений может принимать такая функция?

Для положительных чисел <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i> докажите неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111769/problem_111769_img_2.gif">

 <i>k</i> ≥ 6  – натуральное число. Докажите, что если некоторый многочлен с целыми коэффициентами принимает в <i>k</i> целых точках значения среди чисел от 1 до  <i>k</i> – 1,  то эти значения равны.

Определите наименьшее действительное число <i>M</i>, при котором неравенство   |<i>ab</i>(<i>a</i>² – <i>b</i>²) + <i>bc</i>(<i>b</i>² – <i>c</i>²) + <i>ca</i>(<i>c</i>² – <i>a</i>²)| ≤ <i>M</i>(<i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>²)²   выполняется для любых действительных чисел <i>a, b, c</i>.

Найдите все такие пары  (<i>x, y</i>)  натуральных чисел, что  <i>x + y = aⁿ,  x</i>² + <i>y</i>² = <i>a^m</i>  для некоторых натуральных <i>a, n, m</i>.

На окружности расположена тысяча непересекающихся дуг, и на каждой из них написаны два натуральных числа. Сумма чисел каждой дуги делится на произведение чисел дуги, следующей за ней по часовой стрелке. Каково наибольшее возможное значение наибольшего из написанных чисел?

В последовательности натуральных чисел {<i>a_n</i>},  <i>n</i> = 1, 2, ...,  каждое натуральное число встречается хотя бы один раз, и для любых различных <i>n</i> и <i>m</i> выполнено неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109941/problem_109941_img_2.gif">   Докажите, что тогда  |<i>a_n – n</i>| < 2000000  для всех натуральных <i>n</i>.

Дано дерево с <i>n</i> вершинами,  <i>n</i> ≥ 2.  В его вершинах расставлены числа <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, <i>x_n</i>, а на каждом ребре записано произведение чисел, стоящих в концах этого ребра. Обозначим через <i>S</i> сумму чисел на всех рёбрах. Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109782/problem_109782_img_2.gif">

В Думе 1600 депутатов, которые образовали 16000 комитетов по 80 человек в каждом.

Докажите, что найдутся два комитета, имеющие не менее четырёх общих членов.

Положительные числа <i>х</i>₁, ..., <i>х_k</i> удовлетворяют неравенствам   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109199/problem_109199_img_2.gif">

  а) Докажите, что  <i>k</i> > 50.

  б) Построить пример таких чисел для какого-нибудь <i>k</i>.

  в) Найти минимальное <i>k</i>, для которого пример возможен.

Все имеющиеся на складе конфеты разных сортов разложены по <i>n</i> коробкам, на которые установлены цены в 1, 2, ..., <i>n</i>  у. е. соответственно. Требуется купить такие <i>k</i> из этих коробок наименьшей суммарной стоимости, которые содержат заведомо не менее <i>^k/_n</i> массы всех конфет. Известно, что масса конфет в каждой коробке не превосходит массы конфет в любой более дорогой коробке.

  а) Какие коробки следует купить при  <i>n</i> = 10  и  <i>k</i> = 3 ?

  б) Тот же вопрос для произвольных натуральных  <i>n ≥ k</i>.

В ботаническом справочнике каждое растение характеризуется 100 признаками (каждый признак либо присутствует, либо отсутствует). Растения считаются <i>непохожими</i>, если они различаются не менее, чем по 51 признаку.

  а) Покажите, что в справочнике не может находиться больше 50 попарно непохожих растений.

  б) А может ли быть ровно 50?

а) Доказать, что для любых положительных чисел  <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_k</i>  (<i>k</i> > 3)  выполняется неравенство: <div align="center"><img src="/storage/problem-media/97781/problem_97781_img_2.gif"></div>б) Доказать, что это неравенство ни для какого  <i>k</i> > 3  нельзя усилить, то есть доказать, что для каждого фиксированного <i>k</i> нельзя заменить двойку в правой части на большее число так, чтобы полученное неравенство было справедливо для любого набора из <i>k</i> положительных чисел.

а) Доказать, что из трёх положительных чисел всегда можно выбрать такие два числа <i>x</i> и <i>y</i>, что  0 ≤ <img width="38" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79520/problem_79520_img_2.gif"> ≤ 1.

б) Верно ли, что указанные два числа можно выбрать из любых четырёх чисел?

  а) <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, <i>x</i>₃, <i>x</i>₄, <i>x</i>₅ – положительные числа. Докажите, что квадрат суммы этих чисел не меньше учетверённой суммы произведений <i>x</i>₁<i>x</i>₂, <i>x</i>₂<i>x</i>₃, <i>x</i>₃<i>x</i>₄, <i>x</i>₄<i>x</i>₅ и <i>x</i>₅<i>x</i>₁.

  б) Пр...

Для любого треугольника можно вычислить сумму квадратов тангенсов половин его углов. Докажите, что эта сумма

  а) меньше 2 для любого остроугольного треугольника;

  б) не меньше 2 для любого тупоугольного треугольника, величина тупого угла которого больше или равна  2 arctg ⁴/₃;  а среди треугольников с тупым углом, меньшим  2 arctg ⁴/₃,  имеются и такие, сумма квадратов тангенсов половин углов которых больше 2, и такие, сумма квадратов тангенсов половин углов которых меньше 2.

а) Школьники одного класса в сентябре ходили в два туристических похода. В первом походе мальчиков было меньше &frac25; общего числа участников этого похода, во втором – тоже меньше &frac25;. Докажите, что в этом классе мальчики составляют меньше ⁴/₇ общего числа учеников, если известно, что каждый из учеников участвовал по крайней мере в одном походе. б) Пусть в <i>k</i>-м походе, где  1 ≤ <i>k ≤ n</i>,  мальчики составляли α_<i>k</i>-ю часть общего количества участников этого похода. Какую наибольшую долю могут составлять мальчики на общей встрече всех туристов (всех, кто участвовал хотя бы в одном из <i>n</i> походов)?

Сумма <i>n</i> положительных чисел  <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, <i>x</i>₃, ..., <i>x_n</i>  равна 1.

Пусть <i>S</i> – наибольшее из чисел   <img align="middle" src="/storage/problem-media/73692/problem_73692_img_2.gif">

Найдите наименьшее возможное значение <i>S</i>. При каких значениях  <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i>  оно достигается?

Несколько человек в течение <i>t</i> минут наблюдали за улиткой. Каждый наблюдал за ней ровно 1 минуту и заметил, что за эту минуту улитка проползла ровно 1 метр. Ни в один момент времени улитка не оставалась без наблюдения. Какой наименьший и какой наибольший путь могла она проползти за эти <i>t</i> минут?

Даны две строго возрастающие последовательности положительных чисел, в которых каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих. Известно, что каждая последовательность содержит хотя бы одно число, которого нет в другой последовательности. Какое наибольшее количество общих чисел может быть у этих последовательностей? <b>Замечание к условию.</b>Предполагается, что обе последовательности бесконечны, иначе совпадений, очевидно, может быть сколько угодно (можно взять первые $n$ членов последовательности Фибоначчи 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... как первую последовательность, и члены со второго по $(n+1)$-й — как вторую).

В выпуклом многограннике обозначим через B, P и T соответственно число вершин, рёбер и максимальное число треугольных граней, которые имеют общую вершину. Докажите, что {$\text{В}\sqrt{\text{Р}+\text{Т}}\geqslant 2\text{Р}$}. Например, для тетраэдра ($\text{В}=4$, $\text{Р}=6$, $\text{Т}=3$) выполняется равенство, а для треугольной призмы ($\text{В}=6$, $\text{Р}=9$, $\text{Т}=1$) или куба ($\text{В}=8$, $\text{Р}=12$, $\text{Т}=0$) имеет место строгое неравенство.

Дано иррациональное число α,  0 < α < ½.  По нему определяется новое число α₁ как меньшее из двух чисел 2α и  1 – 2α.  По этому числу аналогично определяется α₂, и так далее.

  а) Докажите, что  α_<i>n</i> < ³/₁₆  для некоторого <i>n</i> .

  б) Может ли случиться, что  α_<i>n</i> > ⁷/₄₀  при всех натуральных <i>n</i>?

На доске выписаны в ряд <i>n</i> положительных чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_n</i>. Вася хочет выписать под каждым числом <i>a_i</i> число  <i>b_i ≥ a_i</i>  так, чтобы для каждых двух из чисел <i>b</i>₁, <i>b</i>₂, ..., <i>b_n</i> отношение одного из них к другому было целым. Докажите, что Вася может выписать требуемые числа так, чтобы выполнялось неравенство  <i>b</i>₁<i>b</i>₂...<i>b<sub>n</...

В треугольнике <i>ABC  AL_a</i> и <i>AM_a</i> – внутренняя и внешняя биссектрисы угла <i>A</i>. Пусть ω<i>_a</i> – окружность, симметричная описанной окружности Ω<i>_a</i> треугольника <i>AL_aM_a</i> относительно середины <i>BC</i>. Окружность ω<i>_b</i> определена аналогично. Докажите, что ω<i>_a</i> и ω<i>_b</i> касаются тогда и только тогда, когда треугольник <i>ABC</i> прямоугольный.