Задачи и олимпиады по математике

Задача

В треугольнике ABC AL_a и AM_a – внутренняя и внешняя биссектрисы угла A. Пусть ω_a – окружность, симметричная описанной окружности Ω_a треугольника AL_aM_a относительно середины BC. Окружность ω_b определена аналогично. Докажите, что ω_a и ω_b касаются тогда и только тогда, когда треугольник ABC прямоугольный.

Решение

Решение 1: Известно, что окружность Ω_a перпендикулярна описанной окружности Ω треугольника ABC и является геометрическим местом точек X, для которых BX : CX = BA : CA (окружность Аполлония, см. задачу 157142). Окружность ω_a симметрична Ω_a относительно серединного перпендикуляра к BC и потому также перпендикулярна Ω и является геометрическим местом точек X, для которых BX : CX = CA:BA. Аналогичный факт верен и для ω_b. Значит, множество общих точек ω_a и ω_b переходит в себя при инверсии относительно Ω. Поэтому они касаются тогда и только тогда, когда некоторая их общая точка X лежит на Ω; при этом AX : BX : CX = BC : CA : AB.

Итак, если окружности касаются, то по теореме Птолемея (см задачу 152468) одно из произведений AX·BC, BX·CA, CX·AB равно сумме двух других. Так как эти произведения пропорциональны квадратам сторон треугольника ABC, он должен быть прямоугольным.

Наоборот, пусть треугольник ABC прямоугольный, и точки A, B, C, X (в некотором порядке) образуют прямоугольник. Тогда эти точки лежат на одной окружности, и нетрудно убедиться, что AX : BX : CX = BC : CA : AB; это значит, что X – общая точка ω_a и ω_b, а это равносильно тому, что они касаются.

Решение 2: Центр O_a окружности Ω_a лежит на касательной к Ω в точке A. Кроме того, известно, что точки O_a, O_b, O_c лежат на одной прямой. Центр O'_a окружности ω_a симметричен O_a относительно середины BC, а её радиус равен длине касательной O'_aA', проведённой из O'_a к Ω (точка A' симметрична A относительно серединного перпендикуляра к BC).

Точка X пересечения двух из окружностей ω_a, ω_b, ω_c удовлетворяет соотношениям AX : BX : CX = BC : CA : AB, то есть лежит и на третьей окружности. Значит, если две из окружностей ω_a, ω_b, ω_c касаются в точке X, то третья также проходит через эту точку и касается их обеих (ибо больше не имеет с ними общих точек).

Это замечание позволяет ограничиться случаем, когда C – наибольший угол треугольника ABC. Если ∠C = 90° (см. рис.), то касательные из точек O'_a и O'_b к Ω касаются её в одной и той же точке A' = B', диаметрально противоположной C. Значит, точки O'_a, O'_b, A' лежат на одной прямой и, следовательно, окружности с центрами O'_a, O'_b, проходящие через A', касаются в ней.

Пусть уголCострый; проведём вторые касательные из точекO'_aиO'_bк Ω; тогда точки касания будут расположены так, как на рисунке, и, следовательно, дугиB'B''иC'C''окружностей ω_aи ω_bпересекутся.