Олимпиадная задача по математике на комбинаторику: максимум непохожих растений в справочнике
Задача
В ботаническом справочнике каждое растение характеризуется 100 признаками (каждый признак либо присутствует, либо отсутствует). Растения считаются непохожими, если они различаются не менее, чем по 51 признаку.
а) Покажите, что в справочнике не может находиться больше 50 попарно непохожих растений.
б) А может ли быть ровно 50?
Решение
а) Пусть непохожих растений 51 и k из них имеют данный признак, а 51 – k – не имеют. Число несовпадающих по этому признаку пар равно
k(51 – k) ≤ 25·26. В сумме получаем не более 100·25·26 несовпадений. Но по условию их должно быть больше чем 51·51·50 : 2 > 100·25·26. Противоречие. б) Пусть в справочнике есть m видов попарно непохожих растений. Добавим к описанию еще один признак: чётность числа имеющихся у данного растения признаков. Получим справочник, где для описания растения используется уже 101 признак, причем любые описания различаются по крайней мере по 52 признакам (если исходные описания различались ровно по 51 признаку, то чётности числа имеющихся признаков у них различны).
Действуя так же, как в а), получаем, что общее число различий не меньше 52·m(m–1)/2, но не больше 101·m²/4, а из неравенства 52·m(m–1)/2 ≤ 101·m²/4 следует, что
m ≤ 34. Итак, в новом, а значит, и в исходном справочнике описано не более 34 попарно непохожих растений.
Ответ
б) Не может.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь