Назад

Олимпиадная задача по многочленам и неравенствам для 10-11 классов от Малкина М. И.

Задача 211342 • Сложность: 4 • 10-11 класс
Задача

 k ≥ 6  – натуральное число. Докажите, что если некоторый многочлен с целыми коэффициентами принимает в k целых точках значения среди чисел от 1 до  k – 1,  то эти значения равны.

Авторы:
Малкин М. И.
Разделы:
Многочлены Алгебраические неравенства и системы неравенств
Источники:
Московская математическая олимпиада Олимпиады и турниры 2008 год 10 класс
Количество версий:
3
Решение

  Обозначим через P данный многочлен и через  x1 < ... < xk  – данные k целых точек. Так как  P(xk) – P(x1)  делится на  xk – x1 ≥ k – 1  (см. решение задачи 135562) и не превосходит по модулю  k – 2,  то  P(xk) – P(x1) = 0.  Поэтому  P(x) = P(x1) + (x – x1)(x – xk)Q(x)  для некоторого многочлена Q с целыми коэффициентами.

   Если  P(xi) ≠ P(x1)  для некоторого  i = 3, 4, ..., k – 2,  то  Q(xi) ≠ 0.  Тогда  |P(xi) – P(x1)| ≥ |(xi – x1)(xi – xk)| ≥ 2(k – 3) > k – 2.  Это противоречие показывает, что  P(xi) = P(x1).

   Итак,  P(x3) = ... = P(xk–2) = P(x1).  Поэтому   P(x) = P(x1) + (x – x1)(x – x3)(x – x4)...(x – xk–3)(x – xk–2)(x – xk)R(x).

  Если  P(x2) ≠ P(x1),  то  R(x2) ≠ 0.  Тогда  |P(x2) – P(x1)| ≥ |(k – 4)!·(k – 2)| > k – 2.  Это противоречие показывает, что  P(x2) = P(x1).  Аналогично

P(xk–1) = P(x1).

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет