Олимпиадные задачи по теме «Алгебраические неравенства и системы неравенств» для 10 класса - сложность 1-2 с решениями

Найдите наибольшее значение выражения  <i>х + у</i>,  если   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116997/problem_116997_img_2.gif">   <i>x</i> ∈ [0, ^3π/₂],   <i>y</i> ∈ [π, 2π].

Найдите наибольшее значение выражения  <i>ab + bc + ac + abc</i>,  если  <i>a + b + c</i> = 12  (<i>a, b</i> и <i>с</i> – неотрицательные числа).

Существуют ли такие 2013 различных натуральных чисел, что сумма каждых 2012 из них не меньше квадрата оставшегося?

Сравните: sin 3 и sin 3°.

Докажите, что если  <i>а</i> > 0,  <i>b</i> > 0,  <i>c</i> > 0  и  <i>аb + bc + ca</i> ≥ 12,  то  <i>a + b + c</i> ≥ 6.

Натуральные числа <i>d</i> и  <i>d' > d</i>  – делители натурального числа <i>n</i>. Докажите, что  <i>d' > d</i> + ^<i>d</i>²/_<i>n</i>.

Даны 10 попарно различных чисел. Для каждой пары данных чисел Вася записал у себя в тетради квадрат их разности, а Петя записал у себя в тетради модуль разности их квадратов. Могли ли в тетрадях у мальчиков получиться одинаковые наборы из 45 чисел?

Решите неравенство:  [<i>x</i>]·{<i>x</i>} < <i>x</i> – 1.

Докажите, что для любого натурального <i>n</i> выполнено неравенство  (<i>n</i> – 1)^<i>n</i>+1(<i>n</i> + 1)^<i>n</i>–1 < <i>n</i>^2<i>n</i>.

Даны десять положительных чисел, каждые два из которых различны. Докажите, что среди них найдутся либо три числа, произведение которых больше произведения каких-нибудь двух из оставшихся, либо три числа, произведение которых больше произведения каких-нибудь четырёх из оставшихся.

Числа <i>a</i> и <i>b</i> таковы, что   <i>a</i>³ – <i>b</i>³ = 2,  <i>a</i>⁵ – <i>b</i>⁵ ≥ 4.   Докажите, что  <i>a</i>² + <i>b</i>² ≥ 2.

На доске написаны несколько чисел. Известно, что квадрат каждого записанного числа больше произведения любых двух других записанных чисел. Какое наибольшее количество чисел может быть на доске?

Даны 2011 ненулевых целых чисел. Известно, что сумма любого из них с произведением оставшихся 2010 чисел отрицательна. Докажите, что если произвольным образом разбить все данные числа на две группы и перемножить числа в группах, то сумма двух полученных произведений также будет отрицательной.

Даны различные натуральные числа  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>₁₄.  На доску выписаны все 196 чисел вида  <i>a_k</i> + <i>a_l</i>,  где  1 ≤ <i>k</i>, <i>l</i> ≤ 14.  Может ли оказаться, что для каждой комбинации из двух цифр среди написанных на доске чисел найдётся хотя бы одно число, оканчивающееся на эту комбинацию (то есть найдутся числа, оканчивающиеся на 00, 01, 02, ..., 99)?

Найдите все натуральные решения уравнения   2<i>n</i> – ¹/_<i>n</i>⁵ = 3 – ²/_<i>n</i>.

Найдите все неотрицательные решения системы уравнений:

    <i>x</i>³ = 2<i>y</i>² – <i>z</i>,

    <i>y</i>³ = 2<i>z</i>² – <i>x</i>,

    <i>z</i>³ = 2<i>x</i>² – <i>y</i>.

Найдите наибольшее значение выражения  <i>x</i>²<i>y</i> – <i>y</i>²<i>x</i>,  если  0 ≤ <i>x</i> ≤ 1  и  0 ≤ <i>y</i> ≤ 1.

Известно, что  0 < <i>a, b, c, d</i> < 1  и  <i>abcd</i> = (1 – <i>a</i>)(1 – <i>b</i>)(1 – <i>c</i>)(1 – <i>d</i>).  Докажите, что   (<i>a + b + c + d</i>) – (<i>a + c</i>)(<i>b + d</i>) ≥ 1.

Что больше:  2011²⁰¹¹ + 2009²⁰⁰⁹  или  2011²⁰⁰⁹ + 2009²⁰¹¹?

Найдите наибольшее натуральное <i>n</i>, при котором  <i>n</i>²⁰⁰ < 5³⁰⁰.

Пятеро друзей скинулись на покупку. Могло ли оказаться так, что каждые два из них внесли менее одной трети общей стоимости?

Пусть <i>a, b, c</i> – длины сторон произвольного треугольника; <i>p</i> – полупериметр; <i>r</i> – радиус вписанной окружности. Докажите неравенство <div align="center"><img src="/storage/problem-media/115857/problem_115857_img_2.gif"></div>

Выпуклый многоугольник описан около окружности. Точки касания его сторон с окружностью образуют многоугольник с таким же набором углов (порядок углов может быть другим). Верно ли, что многоугольник правильный?

Какое наибольшее значение может принимать выражение   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115510/problem_115510_img_2.gif">   где <i>a, b, c</i> – попарно различные ненулевые цифры?

Для вещественных  <i>x > y</i> > 0  и натуральных  <i>n > k</i>  докажите неравенство  (<i>x^k – y^k</i>)^<i>n</i> < (<i>xⁿ – yⁿ</i>)^<i>k</i>.