Олимпиадная задача по теории чисел: найти все натуральные решения уравнения для 8-10 классов

  Первый способ.  2n – 3 = ^1–2n4/_n⁵.  При  n = 1  равенство верно, а при любом другом натуральном значении n левая часть последнего равенства положительна, а правая – отрицательна.

  Второй способ.  2(n + ¹/_n) ≥ 4 ≥ 3 + ¹/_n².  Таким образом, равенство возможно только в том случае, когда обе его части равны 4, то есть при  n = 1. Третий способ. Запишем уравнение в виде  2n⁶– 3n⁵+ 2n⁴= 1.  Левая часть делится наn, поэтому и правая часть делится наn. Следовательно, решением уравнения может являться только  n= 1.

n = 1.