Олимпиадные задачи по математике для 11 класса

Внутри окружности с центром <i>O</i> отмечены точки <i>A</i> и <i>B</i> так, что  <i>OA = OB</i>.

Постройте на окружности точку <i>M</i>, для которой сумма расстояний до точек <i>A</i> и <i>B</i> наименьшая среди всех возможных.

Четырёхугольник <i>ABCD</i> описан около окружности с центром <i>I</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i> – середины сторон <i>AB</i> и <i>CD</i>. Известно, что  <i>IM</i> : <i>AB = IN</i> : <i>CD</i>.

Докажите, что <i>ABCD</i> – трапеция или параллелограмм.

В треугольнике <i>ABC</i> проведены биссектрисы <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁. Известно, что центр описанной окружности треугольника <i>BB</i>₁<i>C</i>₁ лежит на прямой <i>AC</i>. Найдите угол <i>C</i> треугольника.

Даны треугольник <i>ABC</i> и произвольная точка <i>P, A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁  – вторые точки пересечения прямых <i>AP, BP</i> и <i>CP</i> с описанной окружностью треугольника <i>ABC, A</i>₂, <i>B</i>₂ и <i>C</i>₂ – точки, симметричные <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ относительно прямых <i>BC</i>, <i>CA</i> и <i>AB</i> соответственно. Докажите, что треугольники <i>A</i><sub>1</sub...

Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность, центр <i>O</i> которой лежит внутри него. Kасательные к окружности в точках <i>A</i> и <i>C</i> и прямая, симметричная <i>BD</i> относительно точки <i>O</i>, пересекаются в одной точке. Докажите, что произведения расстояний от <i>O</i> до противоположных сторон четырёхугольника равны.

Hа окружности с диаметром <i>AB</i> выбраны точки <i>C</i> и <i>D</i>. <i>XY</i> – диаметр, проходящий через середину <i>K</i> хорды <i>CD</i>. Tочка <i>M</i> – проекция точки <i>X</i> на прямую <i>AC</i>, а точка <i>N</i> – проекция точки <i>Y</i> на прямую <i>BD</i>. Докажите, что точки <i>M, N</i> и <i>K</i> лежат на одной прямой.

Дана окружность и точка <i>P</i> внутри неё. Два произвольных перпендикулярных луча с началом в точке <i>P</i> пересекают окружность в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Tочка <i>X</i> является проекцией точки <i>P</i> на прямую <i>AB</i>, <i>Y</i> – точка пересечения касательных к окружности, проведённых через точки <i>A</i> и <i>B</i>. Докажите, что все прямые <i>XY</i> проходят через одну и ту же точку.

B основании четырёхугольной пирамиды <i>SABCD</i> лежит четырёхугольник <i>ABCD</i>, диагонали которого перпендикулярны и пересекаются в точке <i>P</i>, и <i>SP</i> является высотой пирамиды. Докажите, что проекции точки <i>P</i> на боковые грани пирамиды лежат на одной окружности.

Дан треугольник <i>ABC</i> и точки <i>P</i> и <i>Q</i>. Известно, что треугольники, образованные проекциями <i>P</i> и <i>Q</i> на стороны <i>ABC</i>, подобны (соответствуют друг другу вершины, лежащие на одних и тех же сторонах исходного треугольника). Докажите, что прямая <i>PQ</i> проходит через центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

Дан вписанный четырёхугольник <i>ABCD</i>. Известно, что четыре окружности, каждая из которых касается его диагоналей и описанной окружности изнутри, равны. Верно ли, что <i>ABCD</i> – квадрат?

Постройте четырёхугольник, в который можно вписать и около которого можно описать окружность, по радиусам этих окружностей и углу между диагоналями.

Дан треугольник <i>ABC</i> и точки <i>X, Y</i>, не лежащие на его описанной окружности Ω. Пусть <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ – проекции <i>X</i> на <i>BC, CA, AB</i>, а <i>A</i>₂, <i>B</i>₂, <i>C</i>₂ – проекции <i>Y</i>. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ на, соответственно, <i>B</i>₂<i>C</i>₂, <i>C</...

Три прямые проходят через точку <i>O</i> и образуют попарно равные углы. На одной из них взяты точки <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, на другой – <i>B</i>₁, <i>B</i>₂, так что точка <i>C</i>₁ пересечения прямых <i>A</i>₁<i>B</i>₁ и <i>A</i>₂<i>B</i>₂ лежит на третьей прямой. Пусть <i>C</i>₂ – точка пересечения <i>A</i>₁<i>B</i>₂ и <i>A</i>₂&l...

В треугольнике <i>ABC</i> отметили центр вписанной окружности, основание высоты, опущенной на сторону <i>AB</i>, и центр вневписанной окружности, касающейся этой стороны и продолжений двух других. После этого сам треугольник стёрли. Восстановите его.

В треугольнике <i>ABC  M</i> – точка пересечения медиан, <i>I</i> – центр вписанной окружности, <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁ – точки касания этой окружности со сторонами <i>BC</i> и <i>AC, G</i> – точка пересечения прямых <i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁. Докажите, что угол <i>CGI</i> прямой тогда и только тогда, когда   <i>GM || AB</i>.

Радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника <i>ABC</i> равны <i>R</i> и <i>r</i>; <i>O, I</i> – центры этих окружностей. Внешняя биссектриса угла <i>C</i> пересекает прямую <i>AB</i> в точке <i>P</i>. Точка <i>Q</i> – проекция точки <i>P</i> на прямую <i>OI</i>. Найдите расстояние <i>OQ</i>.

В трапеции <i>ABCD</i> с основаниями <i>AD</i> и <i>BC</i>  <i>P</i> и <i>Q</i> – середины диагоналей <i>AC</i> и <i>BD</i> соответственно. Докажите, что если ∠<i>DAQ</i> = ∠<i>CAB</i>, то ∠<i>PBA</i> = ∠<i>DBC</i>.

На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> взяты такие точки <i>X</i>, <i>Y</i>, что  <i>AX = BY</i>.  Прямые <i>CX</i> и <i>CY</i> вторично пересекают описанную окружность треугольника в точках <i>U</i> и <i>V</i>. Докажите, что все прямые <i>UV</i> проходят через одну точку.

Дан прямоугольник <i>ABCD</i> и точка <i>P</i>. Прямые, проходящие через <i>A</i> и <i>B</i> и перпендикулярные, соответственно, <i>PC</i> и <i>PD</i>, пересекаются в точке <i>Q</i>.

Докажите, что  <i>PQ</i> ⊥ <i>AB</i>.

Найдите геометрическое место центров правильных треугольников, стороны которых проходят через три заданные точки <i>A, B, C</i> (то есть на каждой стороне или ее продолжении лежит ровно одна из заданных точек).

Два выпуклых четырёхугольника таковы, что стороны каждого лежат на серединных перпендикулярах к сторонам другого. Найдите их углы.

Три окружности проходят через точку <i>P</i>, а вторые точки их пересечения <i>A, B, C</i> лежат на одной прямой. <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ – вторые точки пересечения прямых <i>AP, BP, CP</i> с соответствующими окружностями. <i>C</i>₂ – точка пересечения прямых <i>AB</i>₁ и <i>BA</i>₁.  <i>A</i>₂, <i>B</i>₂ определяются аналогично.

Докажите, что треугольники <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i><sub...

Дана треугольная пирамида. Леша хочет выбрать два ее скрещивающихся ребра и на них, как на диаметрах, построить шары. Всегда ли он может выбрать такую пару, что любая точка пирамиды лежит хотя бы в одном из этих шаров?

В бесконечной последовательности  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ... число <i>a</i>₁ равно 1, а каждое следующее число <i>a_n</i> строится из предыдущего <i>a</i>_<i>n</i>–1 по правилу: если у числа <i>n</i> наибольший нечётный делитель имеет остаток 1 от деления на 4, то  <i>a_n = a</i>_<i>n</i>–1 + 1,  если же остаток равен 3, то  <i>a_n = a</i>_<i>n</i>–1 – 1.  Докажите, что в этой последовательности

  а) число 1 встреч...

Высоты <i>AA'</i> и <i>CC'</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>H</i>. Точка <i>B</i>₀ – середина стороны <i>AC</i>.

Докажите, что точка пересечения прямых, симметричных <i>BB</i>₀ и <i>HB</i>₀ относительно биссектрис углов <i>B</i> и <i>AHC</i> соответственно, лежит на прямой <i>A'C'</i>.