Олимпиадная задача по планиметрии для 10–11 классов: подобие треугольников через окружность
Задача
Даны треугольник ABC и произвольная точка P, A1, B1 и C1 – вторые точки пересечения прямых AP, BP и CP с описанной окружностью треугольника ABC, A2, B2 и C2 – точки, симметричные A1, B1 и C1 относительно прямых BC, CA и AB соответственно. Докажите, что треугольники A1B1C1 и A2B2C2 подобны.
Решение
∠PBA2 = |∠B1BA1 – 2∠CBA1| = |∠B1AC – ∠CBA1| = |∠B2AC – ∠CAA1| = ∠PAB2. Kроме того, A2B : B2A = A1B : B1A = sin∠PAB : sin∠PBA = PB : PA. Cледовательно, треугольники PBA2 и PAB2 подобны, то есть PA2 : PB2 = PB : PA = PA1 : PB1 и ∠A2PB = ∠APB2. Это равносильно тому, что
∠A2PB2 = ∠B1PA1, откуда следует подобие треугольников PA1B1 и PA2B2.
Aналогично доказывается подобие еще двух пар треугольников: PB1C1 и PB2C2, PC1A1 и PC2A2. Cледовательно, подобны треугольники A1B1C1 и A2B2C2.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь