Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 1-3 с решениями

Существуют ли такие натуральные числа <i>a, b, c</i>, большие 10¹⁰, что их произведение делится на любое из них, увеличенное на 2012?

Даны положительные числа <i>b</i> и <i>c</i>. Докажите неравенство  (<i>b</i> – <i>c</i>)²⁰¹¹(<i>b</i> + <i>c</i>)²⁰¹¹(<i>c</i> – <i>b</i>)²⁰¹¹ ≥ (<i>b</i>²⁰¹¹ – <i>c</i>²⁰¹¹)(<i>b</i>²⁰¹¹ + <i>c</i>²⁰¹¹)(<i>c</i>²⁰¹¹ – <i>b</i>²⁰¹¹).

Существует ли такое вещественное α, что число cos α иррационально, а все числа cos 2α, cos 3α, cos 4α, cos 5α рациональны?

Найдите все такие натуральные <i>n</i>, что при некоторых отличных от нуля действительных числах <i>a, b, c, d</i> многочлен  (<i>ax + b</i>)¹⁰⁰⁰ – (<i>cx + d</i>)¹⁰⁰⁰  после раскрытия скобок и приведения всех подобных слагаемых имеет ровно <i>n</i> ненулевых коэффициентов.

Назовём тройку натуральных чисел  (<i>a, b, c</i>)  <i>квадратной</i>, если они образуют арифметическую прогрессию (именно в таком порядке), число <i>b</i> взаимно просто с каждым из чисел <i>a</i> и <i>c</i>, а число <i>abc</i> является точным квадратом. Докажите, что для любой квадратной тройки найдётся другая квадратная тройка, имеющая с ней хотя бы одно общее число. (Тройка  (<i>c, b, a</i>)  новой тройкой не считается.)

При каких натуральных  <i>n</i> > 1  существуют такие натуральные <i>b</i>₁, ..., <i>b_n</i>  (не все из которых равны), что при всех натуральных <i>k</i> число

(<i>b</i>₁ + <i>k</i>)(<i>b</i>₂ + <i>k</i>)...(<i>b_n + k</i>)  является степенью натурального числа? (Показатель степени может зависеть от <i>k</i>, но должен быть больше 1.)

Для вещественных  <i>x > y</i> > 0  и натуральных  <i>n > k</i>  докажите неравенство  (<i>x^k – y^k</i>)^<i>n</i> < (<i>xⁿ – yⁿ</i>)^<i>k</i>.

При каких натуральных <i>n</i> найдутся такие целые <i>a, b, c</i>, что их сумма равна нулю, а число  <i>aⁿ + bⁿ + cⁿ</i>  – простое?

Произведение квадратных трёхчленов  <i>x</i>² + <i>a</i>₁<i>x + b</i>₁,  <i>x</i>² + <i>a</i>₂<i>x + b</i>₂,  ...,  <i>x</i>² + <i>a_nx + b_n</i>  равно многочлену  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>^2<i>n</i> + <i>c</i>₁<i>x</i>^{2<i>n</i>–1} + <i>c</i>₂<i>x</i>^{2<i>n</i>–2} + ... + <i>c</i><sub>2<i>n</i>–1</...

Сумма положительных чисел <i>a, b, c</i> равна ^π/₂. Докажите, что  cos <i>a</i> + cos <i>b</i> + cos <i>c</i> > sin <i>a</i> + sin <i>b</i> + sin <i>c</i>.

Пусть<i> α </i>,<i> β </i>,<i> γ </i>,<i> τ </i>– такие положительные числа, что при всех<i> x </i> <center><i>

sinα x+ sinβ x= sinγ x+ sinτ x.

</i></center> Докажите, что<i> α=γ </i>или<i> α=τ </i>.

Докажите, что для любого многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) степени <i>n</i> с натуральными коэффициентами найдется такое целое число <i>k</i>, что числа  <i>P</i>(<i>k</i>),  <i>P</i>(<i>k</i> + 1),  ...,

<i>P</i>(<i>k</i> + 1996)  будут составными, если

  а)  <i>n</i> = 1;

  б)  <i>n</i> – произвольное натуральное число.

Приведите пример многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) степени 2001, для которого  <i>P</i>(<i>x</i>) + <i>P</i>(1 – <i>x</i>) ≡ 1.

<i>a, b, c</i> – стороны треугольника. Докажите неравенство   <img align="middle" src="/storage/problem-media/105065/problem_105065_img_2.gif">

Существуют ли такие иррациональные числа <i>a</i> и <i>b</i>, что  <i>a </i> > 1,  <i>b</i> > 1,  и  [<i>a^m</i>]  отлично от  [<i>bⁿ</i>]  при любых натуральных числах <i>m</i> и <i>n</i>?

Натуральные числа <i>a, b, c, d</i> таковы, что наименьшее общее кратное этих чисел равно  <i>a + b + c + d</i>.

Докажите, что <i>abcd</i> делится на 3 или на 5 (или на то и другое).

Докажите, что существует бесконечно много нечётных <i>n</i>, для которых число  2<i>ⁿ + n</i>  – составное.

Существует ли треугольник, для сторон <i>x, y, z</i> которого выполнено соотношение  <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i>³ = (<i>x + y</i>)(<i>y + z</i>)(<i>z + x</i>)?

Дан треугольник <i>ABC</i>, все углы которого меньше φ, где  φ < ^2π/₃.

Докажите, что в пространстве существует точка, из которой все стороны треугольника <i>ABC</i> видны под углом φ.

Назовём натуральное число <i>почти квадратом</i>, если оно равно произведению двух последовательных натуральных чисел.

Докажите, что каждый почти квадрат можно представить в виде частного двух почти квадратов.

Натуральные числа <i>a, x</i> и <i>y</i>, большие 100, таковы, что  <i>y</i>² – 1 = <i>a</i>²(<i>x</i>² – 1). Какое наименьшее значение может принимать дробь ^<i>a</i>/_<i>x</i>?

Целые числа <i>a, x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x</i>₁₃ таковы, что  <i>a</i> = (1 + <i>x</i>₁)(1 + <i>x</i>₂)...(1 + <i>x</i>₁₃) = (1 – <i>x</i>₁)(1 – <i>x</i>₂)...(1 – <i>x</i>₁₃).  Докажите, что  <i>ax</i>₁<i>x</i>₂...<i>x</i>₁₃ = 0.

Стозначное натуральное число <i>n</i> назовём <i>необычным</i>, если десятичная запись числа <i>n</i>³ заканчивается на <i>n</i>, а десятичная запись числа <i>n</i>² не заканчивается на <i>n</i>. Докажите, что существует не менее двух стозначных необычных чисел.

Найдите все такие натуральные <i>k</i>, что произведение первых <i>k</i> нечётных простых чисел, уменьшенное на 1, является точной степенью натурального числа (большей, чем первая).

Существует ли такое натуральное <i>n</i>, что для любых ненулевых цифр <i>a</i> и <i>b</i> число  <span style="text-decoration: overline;"><i>anb</i></span>  делится на  <span style="text-decoration: overline;"><i>ab</i></span> ?  (Через  <span style="text-decoration: overline;"><i>x...y</i></span>  обозначено число, получаемое приписыванием друг к другу десятичных записей чисел <i>x, ..., y</i>.)