Олимпиадная задача по теории чисел: делимость произведения чисел, увеличенных на 2012

Решение 1:Выберем некоторое  t > 10¹⁰  и положим  a = b = 2012t,  c = 2012(t² – 1).  c делится на  2012(t + 1) = a + 2012 = b + 2012,  и  ab = 2012²t²  делится на  2012t² = c + 2012.

Решение 2:   Достаточно подобрать такие "большие" числа a', b', c', что их произведение делится на каждое из них, увеличенное на 1. Умножив их все на 2012, мы получим требуемый пример.

  Рассмотрим произвольное  t > 10¹⁰.  Пусть  c' = 2t,  b' = 2c' + 1 = 4t + 1,  a' = b'c' – 1 = 8t² + 2t – 1 = (4t – 1)(2t + 1).  Тогда a'b'c' делится на  b'c' = a' + 1.  Кроме того, a'c' делится на  (2t + 1)·2 = b' + 1 = 2(c' + 1),  что и требовалось.

Существуют.