Задача
Найдите все такие натуральные k, что произведение первых k нечётных простых чисел, уменьшенное на 1, является точной степенью натурального числа (большей, чем первая).
Решение
Пусть n ≥ 2, и 3 = p1 < ... < pk – первые k нечётных простых чисел. Предположим, что p1...pk = an + 1. (*)
Возможны два случая.
1) a – степень двойки. Степени двойки дают лишь остатки 1, 2 и 4 при делении на 7, а an + 1 делится на 7 при k ≥ 3. Значит, k ≤ 2, и возможными значениями для an являются лишь 3 – 1 = 2 и 3·5 – 1 = 14. Оба варианта не подходят.
2) У числа a есть нечётный простой делитель. Отсюда следует (см. решение задачи 164353), что an + 1 > p1...pk, а это противоречит равенству (*).
Ответ
Таких k не существует.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь