Назад
Задача 165119 • Сложность: 2 • 9-11 класс
Задача

Целые числа a, x1, x2, ..., x13 таковы, что  a = (1 + x1)(1 + x2)...(1 + x13) = (1 – x1)(1 – x2)...(1 – x13).  Докажите, что  ax1x2...x13 = 0.

Авторы:
Сендеров В. А.
Разделы:
Теория чисел. Делимость Доказательство от противного
Источники:
Олимпиады и турниры Всероссийская олимпиада по математике 2014-2015 Региональный этап
Количество версий:
4
Решение

  Если какое-то из чисел xi равно 0, утверждение очевидно. Если одно из xi равно ±1, то  a = 0,  и утверждение также верно. В противном случае каждое произведение отрицательно. Поэтому  a² = (1 + x1)(1 + x2)...(1 + x13)(1 – x1)(1 – x2)...(1 – x13)  – отрицательное число (как произведение 13 отрицательных чисел). Противоречие.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет