Олимпиадные задачи из источника «2000-2001» для 7-9 класса - сложность 2-3 с решениями

Докажите, что любой треугольник можно разрезать не более чем на три части, из которых складывается равнобедренный треугольник.

Можно ли клетки доски 5×5 покрасить в 4 цвета так, чтобы клетки, стоящие на пересечении любых двух строк и любых двух столбцов, были покрашены не менее чем в три цвета?

Натуральное число <i>n</i> назовём хорошим, если каждое из чисел <i>n</i>,   <i>n</i> + 1,  <i>n</i> + 2  и  <i>n</i> + 3  делится на сумму своих цифр. (Например,  <i>n</i> = 60398  – хорошее.)

Обязательно ли предпоследней цифрой хорошего числа, оканчивающегося восьмеркой, будет девятка?

Пусть <i>a, b, c, d, e</i> и <i>f</i> – некоторые числа, причём  <i>ace</i> ≠ 0.  Известно, что значения выражений  |<i>ax + b</i>| + |<i>cx + d</i>|  и  |<i>ex + f</i> |  равны при всех значениях <i>x</i>.

Докажите, что  <i>ad = bc</i>.

Уголком размера<i> n</i>×<i>m </i>, где<i> m,n<img src="/storage/problem-media/110080/problem_110080_img_2.gif"></i>2, называется фигура, получаемая из прямоугольника размера<i>n</i>×<i>m</i>клеток удалением прямоугольника размера (<i>n-</i>1)×(<i>m-</i>1) клеток. Два игрока по очереди делают ходы, заключающиеся в закрашивании в уголке произвольного ненулевого количества клеток, образующих прямоугольник или квадрат. Пропускать ход или красить одну клетку дважды нельзя. Проигрывает тот, после чьего хода все клетки уголка окажутся окрашенными. Кто из игроков победит при правильной игре?

Все стороны выпуклого пятиугольника равны, а все углы различны. Докажите, что максимальный и минимальный углы прилегают к одной стороне пятиугольника.

<i> N </i>цифр – единицы и двойки – расположены по кругу. Изображенным назовем число, образуемое несколькими цифрами, расположенными подряд (по часовой стрелке или против часовой стрелки). При каком наименьшем значении<i> N </i>все четырехзначные числа, запись которых содержит только цифры 1 и 2, могут оказаться среди изображенных?

Можно ли числа 1, 2, ..., 10 расставить в ряд в некотором порядке так, чтобы каждое из них, начиная со второго, отличалось от предыдущего на целое число процентов?

Существует ли такое натуральное число, что произведение всех его натуральных делителей (включая 1 и само число) оканчивается ровно на 2001 ноль?

Мишень представляет собой треугольник, разбитый тремя семействами параллельных прямых на 100 равных правильных треугольничков с единичными сторонами. Снайпер стреляет по мишени. Он целится в треугольничек и попадает либо в него, либо в один из соседних с ним по стороне. Он видит результаты своей стрельбы и может выбирать, когда стрельбу заканчивать. Какое наибольшее число треугольничков он может с гарантией поразить ровно пять раз?

Петя и Коля играют в следующую игру: они по очереди изменяют один из коэффициентов <i>a</i> или <i>b</i> квадратного трёхчлена <i>x</i>² + <i>ax + b</i>: Петя на 1, Коля – на 1 или на 3. Коля выигрывает, если после хода одного из игроков получается трёхчлен, имеющий целые корни. Верно ли, что Коля может выиграть при любых начальных целых коэффициентах <i>a</i> и <i>b</i> независимо от игры Пети?

Множество клеток на клетчатой плоскости назовем <i>ладейно связным</i>, если из каждой его клетки можно попасть в любую другую, двигаясь по клеткам этого множества ходом ладьи (ладье разрешается перелетать через поля, не принадлежащие нашему множеству). Докажите, что ладейно связное множество из 100 клеток можно разбить на пары клеток, лежащих в одной строке или в одном столбце.

Даны целые числа <i>a, b</i> и <i>c,  c ≠ b</i>.  Известно, что квадратные трёхчлены  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>  и  (<i>c – b</i>)<i>x</i>² + (<i>c – a</i>)<i>x</i> + (<i>a + b</i>)  имеют общий корень (не обязательно целый). Докажите, что  <i>a + b</i> + 2<i>c</i>  делится на 3.

Проведено три семейства параллельных прямых, по 10 прямых в каждом. Какое наибольшее число треугольников они могут вырезать из плоскости?

Опишите все способы покрасить каждое натуральное число в один из трёх цветов так, чтобы выполнялось условие: если числа <i>a, b</i> и <i>c</i> (не обязательно различные) удовлетворяют условию  2000(<i>a + b</i>) = <i>c</i>,  то они либо все одного цвета, либо трёх разных цветов.

Длины сторон многоугольника равны  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_n</i>.  Квадратный трёхчлен  <i>f</i>(<i>x</i>) таков, что  <i>f</i>(<i>a</i>₁) = <i>f</i>(<i>a</i>₂ + ... + <i>a_n</i>).

Докажите, что если <i>A</i> – сумма длин нескольких сторон многоугольника, <i>B</i> – сумма длин остальных его сторон, то  <i>f</i>(<i>A</i>) = <i>f</i>(<i>B</i>).

Докажите, что в любом множестве, состоящем из 117 попарно различных трёхзначных чисел, можно выбрать четыре попарно непересекающихся подмножества, суммы чисел в которых равны.

Приведённый квадратный трёхчлен  <i>f</i>(<i>x</i>) имеет два различных корня. Может ли так оказаться, что уравнение  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = 0  имеет три различных корня, а уравнение  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>))) = 0  – семь различных корней?

Найдите все такие простые числа <i>p</i> и <i>q</i> , что  <i>p + q</i> = (<i>p – q</i>)³.

В компании из  2<i>n</i> + 1 человека для любых <i>n</i> человек найдётся отличный от них человек, знакомый с каждым из них.

Докажите, что в этой компании есть человек, знающий всех.

Юра выложил в ряд 2001 монету достоинством 1, 2 и 3 копейки. Оказалось, что между любыми двумя копеечными монетами лежит хотя бы одна монета, между любыми двумя двухкопеечными монетами лежат хотя бы две монеты, а между любыми двумя трехкопеечными монетами лежат хотя бы три монеты. Сколько у Юры могло быть трехкопеечных монет?

Дан выпуклый 2000-угольник, никакие три диагонали которого не пересекаются в одной точке. Каждая из его диагоналей покрашена в один из 999 цветов. Докажите, что существует треугольник, все стороны которого целиком лежат на диагоналях одного цвета. (Вершины треугольника не обязательно должны оказаться вершинами исходного многоугольника.)

Числа от 1 до 999999 разбиты на две группы: в первую отнесено каждое число, для которого ближайшим к нему квадратом является квадрат нечётного числа, во вторую – числа, для которых ближайшими являются квадраты чётных чисел. В какой из групп сумма чисел больше?

В магическом квадрате <i>n×n</i>, составленном из чисел 1, 2, ..., <i>n</i>², центры каждых двух клеток соединили вектором в направлении от большего числа к меньшему. Докажите, что сумма всех полученных векторов равна нулю. (Магическим называется клетчатый квадрат, в клетках которого записаны числа так, что суммы чисел во всех его строках и столбцах равны.)

Многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>³ + <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>  имеет три различных действительных корня, а многочлен <i>P</i>(<i>Q</i>(<i>x</i>)), где  <i>Q</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>x</i> + 2001,  действительных корней не имеет. Докажите, что  <i>P</i>(2001) > ¹/₆₄.