Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап»

Найдите все такие нечётные натуральные  <i>n</i> > 1,  что для любых взаимно простых делителей <i>a</i> и <i>b</i> числа <i>n</i> число  <i>a + b</i> – 1  также является делителем <i>n</i>.

В компании из  2<i>n</i> + 1 человека для любых <i>n</i> человек найдётся отличный от них человек, знакомый с каждым из них.

Докажите, что в этой компании есть человек, знающий всех.

Юра выложил в ряд 2001 монету достоинством 1, 2 и 3 копейки. Оказалось, что между любыми двумя копеечными монетами лежит хотя бы одна монета, между любыми двумя двухкопеечными монетами лежат хотя бы две монеты, а между любыми двумя трехкопеечными монетами лежат хотя бы три монеты. Сколько у Юры могло быть трехкопеечных монет?

Дан выпуклый 2000-угольник, никакие три диагонали которого не пересекаются в одной точке. Каждая из его диагоналей покрашена в один из 999 цветов. Докажите, что существует треугольник, все стороны которого целиком лежат на диагоналях одного цвета. (Вершины треугольника не обязательно должны оказаться вершинами исходного многоугольника.)

Два многочлена  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>⁴ + <i>ax</i>³ + <i>bx</i>² + <i>cx + d</i>  и  <i>Q</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>px + q</i>  принимают отрицательные значения на некотором интервале <i>I</i> длины более 2, а вне <i>I</i> – неотрицательны. Докажите, что найдётся такая точка <i>x</i>₀, что  <i>P</i>(<i>x</i>₀) < <i>Q</i>(<i>x</i>₀).

Числа от 1 до 999999 разбиты на две группы: в первую отнесено каждое число, для которого ближайшим к нему квадратом является квадрат нечётного числа, во вторую – числа, для которых ближайшими являются квадраты чётных чисел. В какой из групп сумма чисел больше?

Найдите все такие натуральные числа <i>n</i>, что для любых двух его взаимно простых делителей <i>a</i> и <i>b</i> число  <i>a + b</i> – 1  также является делителем <i>n</i>.

В магическом квадрате <i>n×n</i>, составленном из чисел 1, 2, ..., <i>n</i>², центры каждых двух клеток соединили вектором в направлении от большего числа к меньшему. Докажите, что сумма всех полученных векторов равна нулю. (Магическим называется клетчатый квадрат, в клетках которого записаны числа так, что суммы чисел во всех его строках и столбцах равны.)

Многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>³ + <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>  имеет три различных действительных корня, а многочлен <i>P</i>(<i>Q</i>(<i>x</i>)), где  <i>Q</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>x</i> + 2001,  действительных корней не имеет. Докажите, что  <i>P</i>(2001) > ¹/₆₄.

В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены дорогами, причём между каждыми двумя городами существует единственный несамопересекающийся путь по дорогам. Известно, что в стране ровно 100 городов, из которых выходит по одной дороге. Докажите, что можно построить 50 новых дорог так, что после этого даже при закрытии любой дороги можно будет из каждого города попасть в любой другой.

На прямой выбрано 100 множеств<i> A₁, </i><i> A₂, </i><i> .. , </i><i> A</i>100, каждое из которых является объединением 100 попарно непересекающихся отрезков. Докажите, что пересечение множеств<i> A₁, </i><i> A₂, </i><i> .. , </i><i> A</i>100является объединением не более 9901 попарно непересекающихся отрезков (точка также считается отрезком).

Сфера с центром в плоскости основания<i> ABC </i>тетраэдра<i> SABC </i>проходит через вершины<i> A </i>,<i> B </i>и<i> C </i>и вторично пересекает ребра<i> SA </i>,<i> SB </i>и<i> SC </i>в точках<i> A</i>1,<i> B</i>1и<i> C</i>1соответственно. Плоскости, касающиеся сферы в точках<i> A</i>1,<i> B</i>1и<i> C</i>1, пересекаются в точке<i> O </i>. Докажите, что<i> O </i>– центр сферы, описанной около тетраэдра<i> SA</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1.

В стране 2001 город, некоторые пары городов соединены дорогами, причём из каждого города выходит хотя бы одна дорога и нет города, соединённого дорогами со всеми остальными. Назовём множество городов <i>D доминирующим</i>, если каждый не входящий в <i>D</i> город соединён дорогой с одним из городов множества <i>D</i>. Известно, что в каждом доминирующем множестве хотя бы <i>k</i> городов. Докажите, что страну можно разбить на  2001 – <i>k</i>  республик так, что никакие два города из одной республики не будут соединены дорогой.

<i>a</i> и <i>b</i> – такие различные натуральные числа, что  <i>ab</i>(<i>a + b</i>)  делится на  <i>a</i>² + <i>ab + b</i>².  Докажите, что  |<i>a – b</i>| > <img src="/storage/problem-media/109735/problem_109735_img_2.gif"> .

Приведенные квадратные трёхчлены  <i>f</i>(<i>x</i>) и <i>g</i>(<i>x</i>) принимают отрицательные значения на непересекающихся интервалах.

Докажите, что найдутся такие положительные числа α и β, что для любого действительного <i>x</i> будет выполняться неравенство α<i>f</i>(<i>x</i>) + β<i>g</i>(<i>x</i>) > 0.

Участникам тестовой олимпиады было предложено <i>n</i> вопросов. Жюри определяет сложность каждого из вопросов: целое положительное количество баллов, получаемых участниками за правильный ответ на вопрос. За неправильный ответ начисляется 0 баллов, все набранные участником баллы суммируются. Когда все участники сдали листки со своими ответами, оказалось, что жюри так может определить сложность вопросов, чтобы места между участниками распределились любым наперед заданным образом. При каком наибольшем числе участников это могло быть?

На плоскости даны два таких конечных набора<i> P₁ </i>и<i> P₂ </i>выпуклых многоугольников, что любые два многоугольника из разных наборов имеют общую точку и в каждом из двух наборов<i> P₁ </i>и<i> P₂ </i>есть пара непересекающихся многоугольников. Докажите, что существует прямая, пересекающая все многоугольники обоих наборов.

  Пусть 2<i>S</i> – суммарный вес некоторого набора гирек. Назовём натуральное число <i>k средним</i>, если в наборе можно выбрать <i>k</i> гирек, суммарный вес которых равен <i>S</i>. Какое наибольшее количество средних чисел может иметь набор из 100 гирек?

На высотах (но не на их продолжениях) остроугольного треугольника<i> ABC </i>взяты точки<i> A</i>1,<i> B</i>1,<i> C</i>1, отличные от точки пересечения высот<i> H </i>, причём сумма площадей треугольников<i> ABC</i>1,<i> BCA</i>1,<i> CAB</i>1равна площади треугольника<i> ABC </i>. Докажите, что окружность, описанная около треугольника<i> A</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1, проходит через точку<i> H </i>.

Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в точке<i> N </i>. Касательная к внутренней окружности, проведённая в точке<i> K </i>, пересекает внешнюю окружность в точках<i> A </i>и<i> B </i>. Пусть<i> M </i>– середина дуги<i> AB </i>, не содержащей точку<i> N </i>. Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника<i> BMK </i>, не зависит от выбора точки<i> K </i>на внутренней окружности.

На большей стороне <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>N</i> так, что серединные перпендикуляры к отрезкам <i>AN</i> и <i>NC</i> пересекают стороны <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>K</i> и <i>M</i> соответственно. Докажите, что центр <i>O</i> описанной окружности треугольника <i>ABC</i> лежит на описанной окружности треугольника <i>KBM</i>.

Внутри параллелограмма <i>ABCD</i> выбрана точка <i>K</i> так, что середина стороны <i>AD</i> равноудалена от точек <i>K</i> и <i>C</i>, а середина стороны <i>CD</i> равноудалена от точек <i>K</i> и <i>A</i>. Точка <i>N</i> – середина отрезка <i>BK</i>. Докажите, что углы <i>NAK</i> и <i>NCK</i> равны.