Олимпиадная задача Лифшица Ю. по теории чисел и комбинаторике для 7–10 классов

  Положим  c = 2000(2d + 2).  Тогда из равенства  c = 2000((d + 1) + (d + 1)),  следует, что числа  d + 1  и c одного цвета.

  С другой стороны,  c = 2000(d + (d + 2)),  значит, числа d,  d + 2  и  d + 1  – одного цвета, или трёх разных цветов.

  Поэтому любые три последовательных числа либо одного цвета, либо трёх разных. Если числа 1, 2, 3 – одного цвета, то рассматривая последовательно тройки 2, 3, 4; 3, 4, 5 и т.д., получаем, что все числа – одного цвета. Если 1 – цвета A, 2 – цвета B, 3 – цвета C, то из тройки 2, 3, 4 получаем, что 4 – цвета A; из тройки 3, 4, 5: что 5 – цвета B, и т.д.

  Пусть  a = 3k₁ + r₁, b = 3k₂ + r₂,  c = 3k₃ + r₃  (r₁, r₂, r₃ – остатки чисел a, b, c при делении на 3).

  Равенство  2000(a + b) = 2000(3k₁ + r₁ + 3k₂ + r₂) = 3M – (r₁ + r₂) = c = 3k₃ + r₃  возможно только в случае, когда  r₁ + r₂ + r₃  делится на 3, то есть либо когда остатки r₁, r₂, r₃ равны, либо когда они попарно различны.

  Отсюда вытекает, что найденные раскраски удовлетворяют условию.

Две раскраски:

  все числа одного цвета;

  числа  3k – 2,  k ∈ N  – цвета A, числа  3k – 1  – цвета B, числа 3k – цвета C.