Назад

Олимпиадная задача о снайпере и треугольнике на комбинаторную геометрию, 7-9 класс

Задача 210072 • Сложность: 3 • 7-9 класс
Задача

Мишень представляет собой треугольник, разбитый тремя семействами параллельных прямых на 100 равных правильных треугольничков с единичными сторонами. Снайпер стреляет по мишени. Он целится в треугольничек и попадает либо в него, либо в один из соседних с ним по стороне. Он видит результаты своей стрельбы и может выбирать, когда стрельбу заканчивать. Какое наибольшее число треугольничков он может с гарантией поразить ровно пять раз?

Авторы:
Лифшиц Ю.
Разделы:
Комбинаторная геометрия Принцип Дирихле
Источники:
Олимпиады и турниры Всероссийская олимпиада по математике 2000-2001 Региональный этап
Количество версий:
5
Решение
Покажем, что стреляющий может добиться 25 призовых мишеней. Рассмотрим разбиение мишени на 25 треугольных кусков2×2, т.е. состоящие из четырех треугольников (см. рис.) . Тогда, стреляя в центр каждого из них до тех пор, пока в одном из четырех треугольников куска не накопится пять попаданий, он получит ровно 25 призовых мишеней. Покажем, что стрелок не может гарантировать себе большего количества. Действительно, при стрельбе в произвольный треугольничек какого-то куска стрелок может всегда попадать в центральный треугольничек этого куска. Тогда призовых мишеней будет не больше 25, так как в остальные он не попадет ни разу.
Ответ

25.00

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет