Олимпиадная задача: Корни композиции квадратных трёхчленов (8-10 класс, Токарев С. И.)

Предположим, что это так. Если прямая  x = u  – ось параболы  y = h(x),  то  h(x₁) = h(x₂)  тогда и только тогда, когда  x₁ + x₂ = 2u.  Многочлен  f(g(x)) имеет не более четырёх корней, но числа  h(1), h(2), ..., h(8)  являются его корнями, следовательно,  u = ⁹/₂  и  h(4) = h(5),  h(3) = h(6),  h(2) = h(7),

h(1) = h(8).  Отсюда же ясно, что числа h(1), h(2), h(3), h(4) образуют монотонную последовательность. Аналогично, рассматривая трёхчлен  f(x) и его корни g(h(1)), g(h(2)), g(h(3)) и g(h(4)), получаем, что  h(1) + h(4) = 2v,  h(2) + h(3) = 2v,  где прямая  x = v  – ось параболы  y = g(x).  Но из уравнения

h(1) + h(4) = h(2) + h(3)  для  h(x) = ax² + bx + c  следует, что  a = 0.  Противоречие.

Не может.