Олимпиадная задача по многочленам: неравенство для сумм квадратов коэффициентов

  Нормой многочлена  R(x) = c_nxⁿ + c_n–1x^n–1 + ... + c₁x + c₀  назовём число     и положим

R(x) = c₀xⁿ + c₁x^n–1 + ... + c_n–1x + c_n.   Лемма. Для любых многочленов P и Q справедливо равенство  |PQ| = |PQ|.

  Доказательство. Пусть  P(x) = a_nxⁿ + a_n–1x^n–1 + ... + a₁x + a₀,  Q(x) = b_mx^m + b_m–1x^m–1 + ... + b₁x + b₀.  Коэффициент c_k при x^k в многочлене PQ равен сумме чисел a_ib_j, для которых  i + j = k.  Поэтому сумма квадратов этих коэффициентов состоит из слагаемых вида  (a_ib_j)²  (каждое входит по одному разу – из квадрата числа c_i+j) и удвоенных произведений вида  2a_ib_ja_pb_q,  где  i + j = p + q  (тоже по одному разу – из того же квадрата). Коэффициент при x^k в многочлене PQ^* равен сумме чисел a_ib_j, для которых  i + (m – j) = k,  то есть  i – j = k – m.  Поэтому сумма квадратов коэффициентов этого многочлена состоит из тех же слагаемых вида (a_ib_j)² (каждое входит по одному разу) и удвоенных произведений вида 2a_ib_ja_pb_q, где  i – j = p – q.  Но это те же самые удвоенные произведения, так как  i – j = p – q  ⇔  i + q = j + p.   Рассмотрим теперь приведённые многочлены  P(x) = xⁿ + a_n–1x^n–1 + ... + a₁x + a₀  и  Q(x) = x^m + b_m–1x^m–1 + ... + b₁x + b₀.  Тогда

Q(x) = b₀x^m + b₁x^m–1 + ... + b_m–1x + 1,  PQ(x) = b₀x^m+n + ... + (a₁ + a₀b_m–1)x + a₀  и, значит,   .

Ответ задачи отсутствует