Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» - сложность 4 с решениями
Известно, что <i>f</i>(<i>x</i>), <i>g</i>(<i>x</i>) и <i>h</i>(<i>x</i>) – квадратные трёхчлены. Может ли уравнение <i>f</i>(<i>g</i>(<i>h</i>(<i>x</i>))) = 0 иметь корни 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8?
Даны непостоянные многочлены <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>Q</i>(<i>x</i>), у которых старшие коэффициенты равны 1.
Докажите, что сумма квадратов коэффициентов многочлена <i>P</i>(<i>x</i>)<i>Q</i>(<i>x</i>) не меньше суммы квадратов свободных членов <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>Q</i>(<i>x</i>).
Существует ли последовательность натуральных чисел, в которой каждое натуральное число встречается ровно один раз и при этом для любого <i>k</i> = 1, 2, 3, ... сумма первых <i>k</i> членов последовательности делится на <i>k</i>?
Решите уравнение<i> cos(cos(cos(cos x)))= sin(sin(sin(sin x))) </i>.
Докажите, что для любого натурального числа <i>a</i><sub>1</sub> > 1 существует такая возрастающая последовательность натуральных чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ...,
что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109599/problem_109599_img_2.gif"> делится на <i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub> + ... + <i>a<sub>k</sub></i> при всех <i>k</i> ≥ 1.
На плоскости отмечены две точки на расстоянии 1. Разрешается, измерив циркулем расстояние между двумя отмеченными точками, провести окружность с центром в любой отмеченной точке с измеренным радиусом. Линейкой разрешается провести прямую через любые две отмеченные точки. При этом отмечаются новые точки – точки пересечения построенных линий. Пусть Ц(<i>n</i>) – наименьшее число линий, проведение которых одним циркулем позволяет получить две отмеченные точки на расстоянии <i>n</i> (<i>n </i> – натуральное). ЛЦ(<i>n</i>) – то же, но циркулем и линейкой. Докажите, что последовательность <img align="middle" src="/storage/problem-media/109598/problem_109598_img_2.gif"> неограничена.
Даны полуокружность с диаметром <i>AB</i> и центром <i>O</i> и прямая, пересекающая полуокружность в точках <i>C</i> и <i>D</i>, а прямую <i>AB</i> – в точке <i>M</i> (<i>MB < MA,
MD < MC</i>). Пусть <i>K</i> – отличная от <i>O</i> точка пересечения описанных окружностей треугольников <i>AOC</i> и <i>DOB</i>. Докажите, что угол <i>MKO</i> – прямой.