Олимпиадные задачи из источника «8 турнир (1986/1987 год)» для 9 класса

Квадрат <i>ABCD</i> и окружность пересекаются в восьми точках так, что образуются четыре криволинейных треугольника:  <i>AEF, BGH, CIJ, DKL</i>  (<i>EF, GH, IJ, KL</i> – дуги окружности). Докажите, что

  а) сумма длин дуг <i>EF</i> и <i>IJ</i> равна сумме длин дуг <i>GH</i> и <i>KL</i>;

  б) сумма периметров криволинейных треугольников <i>AEF</i> и <i>CIJ</i> равна сумме периметров криволинейных треугольников <i>BGH</i> и <i>DKL</i>.

Дана трапеция <i>ABCD</i>, <i>M</i> – точка пересечения её диагоналей. Известно, что боковая сторона <i>AB</i> перпендикулярна основаниям <i>AD</i> и <i> BC</i> и что в трапецию можно вписать окружность. Найдите площадь треугольника <i> DCM</i>, если радиус этой окружности равен <i>r</i>.

Дан равносторонний треугольник <i>ABC</i>. Из его внутренней точки <i>M</i> опущены перпендикуляры <i>MA', MB', MC'</i> на стороны.

Найдите геометрическое место точек <i>M</i>, для которых треугольник <i>A'B'C'</i> – прямоугольный.

В остроугольном треугольнике соединены основания высот. Оказалось, что в полученном треугольнике две стороны параллельны сторонам исходного треугольника. Докажите, что третья сторона также параллельна одной из сторон исходного треугольника.

Найдите геометрическом место ортоцентров (точек пересечения высот) всевозможных треугольников, вписанных в данную окружность.

Двое играют на шахматной доске 8×8. Начинающий игру делает первый ход – ставит на доску коня. Затем они по очереди его передвигают (по обычным правилам), при этом нельзя ставить коня на поле, где он уже побывал. Проигравшим считается тот, кому некуда ходить. Кто выигрывает при правильной игре – начинающий или его партнёр?

Докажите, что для любого натурального  <i>n</i> ≥ 2  справедливо неравенство:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/97937/problem_97937_img_2.gif">.

В некотором городе разрешаются только парные обмены квартир (если две семьи обмениваются квартирами, то в тот же день они не имеют права участвовать в другом обмене). Докажите, что любой сложный обмен квартирами можно осуществить за два дня.

(Предполагается, что при любых обменах каждая семья как до, так и после обмена занимает одну квартиру, и что семьи при этом сохраняются).

Круг радиуса 1 покрыт семью одинаковыми кругами. Докажите, что их радиус не меньше ½.

<i>p</i>(<i>x</i>) – многочлен с целыми коэффициентами. Известно, что для некоторых целых <i>a</i> и <i>b</i> выполняется равенство:  <i>p</i>(<i>a</i>) – <i>p</i>(<i>b</i>) = 1.

Докажите, что <i>a</i> и <i>b</i> различаются на 1.

Имеется много кубиков одинакового размера, раскрашенных в шесть цветов. При этом каждый кубик раскрашен во все шесть цветов, каждая грань – в какой-нибудь один свой цвет, но расположение цветов на разных кубиках может быть различным. Кубики выложены на стол, так что получился прямоугольник. Разрешается взять любой столбец этого прямоугольника, повернуть его вокруг длинной оси и положить на место. То же самое разрешается делать и со строками. Всегда ли можно с помощью таких операций добиться того, что все кубики будут смотреть вверх гранями одного и того же цвета?

В левый нижний угол шахматной доски 8×8 поставлено в форме квадрата 3×3 девять фишек. Фишка может прыгать на свободное поле через рядом стоящую фишку, то есть симметрично отражаться относительно её центра (прыгать можно по вертикали, горизонтали и диагонали). Можно ли за некоторое количество таких ходов поставить все фишки вновь в форме квадрата 3×3, но в другом углу:

  а) левом верхнем,

  б) правом верхнем?

Рассматривается выпуклый восьмиугольник. С помощью диагонали от него можно отрезать четырёхугольник, причём это можно сделать восемью способами. Может ли случиться, что среди этих восьми четырёхугольников имеется

  а) четыре,

  б) пять

таких, в которые можно вписать окружность?

Автомат при опускании гривенника выбрасывает пять двушек, а при опускании двушки – пять гривенников.

Может ли Петя, подойдя к автомату с одной двушкой, получить после нескольких опусканий одинаковое количество двушек и гривенников?

На шахматной доске выбрана клетка. Сумма квадратов расстояний от её центра до центров всех чёрных клеток обозначена через <i>a</i>, а до центров всех белых клеток – через <i>b</i>. Докажите, что  <i>a = b</i>.

Можно ли число 1986 представить в виде суммы шести квадратов нечётных чисел?

Имеется два трёхлитровых сосуда. В одном 1 л воды, в другом – 1 л двухпроцентного раствора поваренной соли. Разрешается переливать любую часть жидкости из одного сосуда в другой, после чего перемешивать. Можно ли за несколько таких переливаний получить полуторапроцентный раствор в том сосуде, в котором вначале была вода?

Докажите, что при любом <i>a</i> имеет место неравенство:   3(1 + <i>a</i>² + <i>a</i>⁴) ≥ (1 + <i>a + a</i>²)².

На окружности имеется 21 точка.

Докажите, что среди дуг, имеющих концами эти точки, найдётся не меньше ста таких, угловая мера которых не превышает 120°.

Клетки шахматной доски 8×8 как-то занумерованы числами от 1 до 32, причём каждое число использовано дважды. Докажите, что можно так выбрать 32 клетки, занумерованные разными числами, что на каждой вертикали и на каждой горизонтали найдётся хотя бы по одной выбранной клетке.

Через <i>n</i>!! обозначается произведение  <i>n</i>(<i>n</i> – 2)(<i>n</i> – 4)...  до единицы (или до двойки): например,  8!! = 8·6·4·2;  9!! = 9·7·5·3·1.

Докажите, что  1985!! + 1986!!  делится на 1987.

Существуют ли такие 100 треугольников, ни один из которых нельзя покрыть 99 остальными?

Существует ли такое <i>N</i> и такие  <i>N</i> – 1  бесконечных арифметических прогрессий с разностями  2, 3, 4, ..., <i>N</i>,  что каждое натуральное число принадлежит хотя бы одной из этих прогрессий?

Каждая клетка шахматной доски закрашена в один из цветов – синий или красный. Докажите, что клетки одного из цветов обладают тем свойством, что их может обойти шахматный ферзь (на клетках этого цвета ферзь может побывать не один раз, на клетки другого цвета он не ставится, но может через них перепрыгивать).

Берутся всевозможные непустые подмножества из множества чисел   1, 2, 3, ..., <i>n</i>.  Для каждого подмножества берётся величина, обратная к произведению всех его чисел. Найти сумму всех таких обратных величин.