Положим  N = 12.  Каждое натуральное число можно записать в виде  12k + r,  где r – одно из чисел  0, 1, ..., 11.  Все числа, для которых r чётно принадлежат прогрессии  2, 4, 6, ...;  все числа, для которых r кратно 3, – прогрессии  3, 6, 9, ...  Остались числа с  r = 1, 5, 7 и 11.  Они покрываются прогрессиями  4k + 1,  6k + 7  и  12k + 11  (k = 0, 1, ...)  с разностями 4, 6 и 12.

Ответ задачи отсутствует