Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, 7-8 класс»

Квадрат <i>ABCD</i> и окружность пересекаются в восьми точках так, что образуются четыре криволинейных треугольника:  <i>AEF, BGH, CIJ, DKL</i>  (<i>EF, GH, IJ, KL</i> – дуги окружности). Докажите, что

  а) сумма длин дуг <i>EF</i> и <i>IJ</i> равна сумме длин дуг <i>GH</i> и <i>KL</i>;

  б) сумма периметров криволинейных треугольников <i>AEF</i> и <i>CIJ</i> равна сумме периметров криволинейных треугольников <i>BGH</i> и <i>DKL</i>.

Найдите геометрическом место ортоцентров (точек пересечения высот) всевозможных треугольников, вписанных в данную окружность.

В футбольном турнире в один круг участвовало 28 команд. По окончании турнира оказалось, что более ¾ всех игр закончилось вничью.

Докажите, что какие-то две команды набрали поровну очков.

Каждая клетка шахматной доски закрашена в один из цветов – синий или красный. Докажите, что клетки одного из цветов обладают тем свойством, что их может обойти шахматный ферзь (на клетках этого цвета ферзь может побывать не один раз, на клетки другого цвета он не ставится, но может через них перепрыгивать).

Берутся всевозможные непустые подмножества из множества чисел   1, 2, 3, ..., <i>n</i>.  Для каждого подмножества берётся величина, обратная к произведению всех его чисел. Найти сумму всех таких обратных величин.

Двое играют в такую игру. Дана шоколадка с продольными и поперечными углублениями, по которым её можно ломать. Первый разламывает шоколадку по одной из линий, второй разламывает одну из частей, первый разламывает одну из трёх образовавшихся частей и т. д. Игра заканчивается в тот момент, когда в результате очередного хода возникнет долька, на которой уже нет углублений; сделавший этот ход выигрывает. На шоколадке 60 долек: имеется 5 продольных и 9 поперечных углублений. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнёр?

Даны два двузначных числа – <i>X</i> и <i>Y</i>. Известно, что <i>X</i> вдвое больше <i>Y</i>, одна цифра числа <i>Y</i> равна сумме, а другая – разности цифр числа <i>X</i>.

Найти эти числа.