Задача
Дан остроугольный треугольник ABC. Точки H и O – его ортоцентр и центр описанной окружности соответственно. Серединный перпендикуляр к отрезку BH пересекает стороны AB и BC в точках A1 и C1. Докажите, что OB – биссектриса угла A1OC1.
Решение
Решение 1: Так как ∠HBC = 90° – ∠C = ∠ABO, равнобедренные треугольники HBC1 и ABO подобны. Поэтому треугольники OBC1 и ABH также подобны, то есть ∠C1OB = ∠HAB = 90° – ∠B (см. рис.). Аналогично ∠A1OB = ∠HCB = 90° – ∠B.
Решение 2: Точка G, симметричная H относительно стороны BC лежит на описанной окружности треугольника ABC (см. задачу 155463). Поэтому
∠AGB = ∠С, а точка O лежит на серединном перпендикуляре к хорде BG. Углы AGB и CC1O равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Следовательно, ∠CC1O = ∠С = ∠A1C1B, то есть C1B – внешняя биссектриса угла A1C1O.
Аналогично A1B – внешняя биссектриса угла C1A1O. Значит, B – центр вневписанной окружности треугольника A1OC1 и OB – биссектриса угла A1OC1.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь