Олимпиадные задачи по математике
Для каждого натурального <i>n</i> обозначим через <i>S<sub>n</sub></i> сумму первых <i>n</i> простых чисел: <i>S</i><sub>1</sub> = 2, <i>S</i><sub>2</sub> = 2 + 3 = 5, <i>S</i><sub>3</sub> = 2 + 3 + 5 = 10, ... .
Могут ли два подряд идущих члена последовательности (<i>S<sub>n</sub></i>) оказаться квадратами натуральных чисел?
Точка <i>I</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>ABC, M</i> – середина стороны <i>AC</i>, а <i>W</i> – середина дуги <i>AB</i> описанной окружности, не содержащей <i>C</i>. Оказалось, что ∠<i>AIM</i> = 90°. В каком отношении точка <i>I</i> делит отрезок <i>CW</i>?