Олимпиадные задачи из источника «VII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2011 г.)» для 2-8 класса

а) Найдите геометрическое место центров тяжести треугольников, вершины которых лежат на сторонах данного треугольника (по одной вершине внутри каждой стороны).б) Найдите геометрическое место центров тяжести тетраэдров, вершины которых лежат на гранях данного тетраэдра (по одной вершине внутри каждой грани).

Пусть <i>AP</i> и <i>BQ</i> – высоты данного остроугольного треугольника <i>ABC</i>. Постройте циркулем и линейкой на стороне <i>AB</i> точку <i>M</i> так, чтобы

∠<i>AQM</i> = ∠<i>BPM</i>.

Вневписанная окружность прямоугольного треугольника <i>ABC</i>  (∠<i>B</i> = 90°)  касается стороны <i>BC</i> в точке <i>A</i>₁, а прямой <i>AC</i> в точке <i>A</i>₂. Прямая <i>A</i>₁<i>A</i>₂ пересекает (первый раз) вписанную окружность треугольника <i>ABC</i> в точке <i>A'</i>; аналогично определяется точка <i>C'</i>. Докажите, что  <i>AC || A'C'</i>.

В трапеции <i>ABCD</i> диагонали пересекаются в точке <i>O</i>. На боковой стороне <i>CD</i> выбрана точка <i>M</i>, а на основаниях <i>BC</i> и <i>AD</i> – точки <i>P</i> и <i>Q</i> так, что отрезки <i>MP</i> и <i>MQ</i> параллельны диагоналям трапеции. Докажите, что прямая <i>PQ</i> проходит через точку <i>O</i>.

Точка <i>H</i> – ортоцентр треугольника <i>ABC</i>. Касательные, проведённые к описанным окружностям треугольников <i>CHB</i> и <i>AHB</i> в точке <i>H</i>, пересекают прямую <i>AC</i> в точках <i>A</i>₁ и <i>C</i>₁ соответственно. Докажите, что  <i>A</i>₁<i>H = C</i>₁<i>H</i>.

На сторонах <i>AB</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> выбрали точки <i>P</i> и <i>Q</i> так, что  <i>PB = QC</i>.  Докажите, что  <i>PQ < BC</i>.

Даны две единичные окружности ω₁ и ω₂, пересекающиеся в точках <i>A</i> и <i>B</i>. На окружности ω₁ взяли произвольную точку <i>M</i>, а на окружности ω₂ точку <i>N</i>. Через точки <i>M</i> и <i>N</i> провели ещё две единичные окружности ω₃ и ω₄. Обозначим повторное пересечение ω₁ и ω₃ через <i>C</i>, повторное пересечение окружностей ω₂ и ω₄ – через <i>D</i>. Докажите, что <i>ACBD</i> – параллелограмм.

В треугольнике <i>ABC</i> проведён серединный перпендикуляр к стороне <i>AB</i> до пересечения с другой стороной в некоторой точке <i>C'</i>. Аналогично построены точки <i>A'</i> и <i>B'</i>. Для каких исходных треугольников треугольник <i>A'B'C'</i> будет равносторонним?

В треугольнике <i>ABC</i> проведены биссектрисы <i>AA', BB', CC'</i>. Известно, что в треугольнике <i>A'B'C'</i> эти прямые также являются биссектрисами.

Верно ли, что треугольник <i>ABC</i> равносторонний?

В треугольнике <i>ABC</i>  ∠<i>A</i> = 60°.  Серединный перпендикуляр к отрезку <i>AB</i> пересекает прямую <i>AC</i> в точке <i>C</i>₁. Серединный перпендикуляр к отрезку <i>AC</i> пересекает прямую <i>AB</i> в точке <i>B</i>₁. Докажите, что прямая <i>B</i>₁<i>C</i>₁ касается вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

В треугольнике <i>ABC</i> со сторонами  <i>AB</i> = 4,  <i>AC</i> = 6  проведена биссектриса угла <i>A</i>. На эту биссектрису опущен перпендикуляр <i>BH</i>.

Найдите <i>MH</i>, где <i>M</i> – середина <i>BC</i>.

Существует ли выпуклый семиугольник, который можно разрезать на 2011 равных треугольников?

Есть лист жести размером 6×6. Разрешается надрезать его, но так, чтобы он не распадался на части, и сгибать.

Как сделать куб с ребром 2, разделённый перегородками на единичные кубики?

Пользуясь только линейкой, разделите сторону квадратного стола на <i>n</i> равных частей. Линии можно проводить только на поверхности стола.

На плоскости отмечена точка <i>M</i>, не лежащая на осях координат. По оси ординат движется точка <i>Q</i>, а по оси абсцисс точка <i>P</i> так, что угол <i>PMQ</i> всегда остаётся прямым. Найдите геометрическое место точек <i>N</i>, симметричных <i>M</i> относительно <i>PQ</i>.

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁. <i>A</i>₀ – середина стороны <i>BC</i>. Прямые <i>A</i>₀<i>B</i>₁ и <i>A</i>₀<i>C</i>₁ пересекают прямую, проходящую через вершину <i>A</i> параллельно прямой <i>BC</i>, в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника <i>PA</i>₀<i>Q</i> лежит на высоте треугольника <i>ABC</i>.

Через вершину <i>A</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i> проведена прямая, не пересекающая отрезок <i>BC</i>. По разные стороны от точки <i>A</i> на этой прямой взяты точки <i>M</i> и <i>N</i> так, что  <i>AM = AN = AB</i>  (точка <i>B</i> внутри угла <i>MAC</i>). Докажите, что прямые <i>AB, AC, BN, CM</i> образуют вписанный четырёхугольник.

В окружности радиуса 1 проведено несколько хорд, суммарная длина которых тоже равна 1.

Докажите, что в окружность можно вписать правильный шестиугольник, стороны которого не пересекают этих хорд.

Около треугольника <i>ABC</i> описали окружность. <i>A</i>₁ – точка пересечения с нею прямой, параллельной <i>BC</i> и проходящей через <i>A</i>. Точки <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ определяются аналогично. Из точек <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ опустили перпендикуляры на <i>BC, CA, AB</i> соответственно. Докажите, что эти три перпендикуляра пересекаются в одной точке.

Петя вырезал из бумаги прямоугольник, положил на него такой же прямоугольник и склеил их по периметру. В верхнем прямоугольнике он провёл диагональ, опустил на неё перпендикуляры из двух оставшихся вершин, разрезал верхний прямоугольник по этим линиям и отогнул полученные треугольники во внешнюю сторону, так что вместе с нижним прямоугольником они образовали прямоугольник.

Как по полученному прямоугольнику восстановить исходный с помощью циркуля и линейки?

В трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна средней линии. Докажите, что трапеция равнобокая.