Олимпиадные задачи из источника «2010/11» - сложность 2-5 с решениями

Существуют ли пять таких двузначных составных чисел, что каждые два из них взаимно просты?

В треугольниках <i>АВС</i> и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁:  ∠<i>А</i> = ∠<i>А</i>₁,  равны высоты, проведённые из вершин <i>В</i> и <i>В</i>₁, а также равны медианы, проведённые из вершин <i>С</i> и <i>С</i>₁. Обязательно ли эти треугольники равны?

Существуют ли такие целые числа <i>x, y</i> и <i>z</i>, для которых выполняется равенство:  (<i>x – y</i>)³ + (<i>y – z</i>)³ + (<i>z – x</i>)³ = 2011?

Какое наибольшее количество точек самопересечения может иметь замкнутая ломаная, в которой 7 звеньев?

Найдите все простые числа <i>p, q</i> и <i>r</i>, для которых выполняется равенство:  <i>p + q</i> = (<i>p – q</i>)^<i>r</i>.

В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i>:  ∠<i>ВАС</i> = 20°,  ∠<i>ВСА</i> = 35°,  ∠<i>ВDС</i> = 40°,  ∠<i>ВDА</i> = 70°.

Найдите угол между диагоналями четырёхугольника.

Для различных положительных чисел <i>а</i> и <i>b</i> выполняется равенство  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116018/problem_116018_img_2.png">.  Докажите, что <i>а</i> и <i>b</i> – взаимно обратные числа.

Существует ли прямоугольный треугольник, в котором две медианы перпендикулярны?

Пятеро друзей скинулись на покупку. Могло ли оказаться так, что каждые два из них внесли менее одной трети общей стоимости?

Найдите наименьшее натуральное <i>n</i>, при котором число  <i>А = n</i>³ + 12<i>n</i>² + 15<i>n</i> + 180  делится на 23.

В остроугольном треугольнике <i>АВС</i> угол <i>В</i> равен 45°, <i>АМ</i> и <i>CN</i> – высоты, <i>О</i> – центр описанной окружности, <i>Н</i> – ортоцентр.

Докажите, что <i>ОNHМ</i> – параллелограмм.

Известно, что  5(<i>а</i> – 1) = <i>b + a</i>².  Сравните числа <i>а</i> и <i>b</i>.

В шахматном турнире участвовало 8 человек, и в итоге они набрали разное количество очков (каждый играл с каждым один раз, победа – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0). Шахматист, занявший второе место, набрал столько же очков, сколько четверо последних набрали вместе.

Как сыграли между собой шахматисты, занявшие третье и седьмое места?

Основания описанной трапеции равны 2 и 11. Докажите, что продолжения боковых сторон трапеции пересекаются под острым углом.

Функция  <i>f</i>(<i>x</i>) определена для всех <i>x</i>, кроме 1, и удовлетворяет равенству:  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116003/problem_116003_img_2.gif">.  Найдите  <i>f</i>(–1).

Дан угол с вершиной <i>O</i> и окружность, касающаяся его сторон в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Луч с началом в точке <i>A</i>, параллельный <i>OB</i>, пересекает окружность в точке <i>C</i>. Отрезок <i>OC</i> пересекает окружность в точке <i>E</i>. Прямые <i>AE</i> и <i>OB</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Докажите, что  <i>OK = KB</i>.

Сумма номеров домов на одной стороне квартала равна 247. Какой номер имеет седьмой дом от угла?

Докажите, что ни при каких натуральных значениях <i>x</i> и <i>y</i> число  <i>x</i>⁸ – <i>x</i>⁷<i>y + x</i>⁶<i>y</i>² – ... – <i>xy</i>⁷ + <i>y</i>⁸  не является простым.

Существуют ли два многоугольника, у которых все вершины общие, но нет ни одной общей стороны?

Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность. Биссектрисы углов <i>В</i> и <i>С</i> пересекаются в точке, лежащей на отрезке <i>AD</i>.

Найдите <i>AD</i>, если  <i>АВ</i> = 5,  <i>СD</i> = 3.

Докажите, что если  <i>x</i> > 0,  <i>y</i> > 0,  <i>z</i> > 0 и  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = 1,  то  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115995/problem_115995_img_2.gif">,  и укажите, в каком случае достигается равенство.

В кубе <i>АВСDA'B'C'D'</i> с ребром 1 точки <i>T, Р</i> и <i>Q</i> – центры граней <i>AA'B'B, A'B'C'D</i>' и <i>BB'C'C</i> соответственно.

Найдите расстояние от точки <i>Р</i> до плоскости <i>АTQ</i>.

Найдите наименьшее значение  <i>x</i>² + <i>y</i>²,  если  <i>x</i>² – <i>y</i>² + 6<i>x</i> + 4<i>y</i> + 5 = 0.

Точки <i>K</i> и <i>L</i> – середины сторон <i>АВ</i> и <i>ВС</i> правильного шестиугольника <i>АВСDEF</i>. Отрезки <i>KD</i> и <i>LE</i> пересекаются в точке <i>М</i>. Площадь треугольника <i>DEM</i> равна 12. Найдите площадь четырёхугольника <i>KBLM</i>.

Какое наибольшее число белых и чёрных фишек можно расставить на шахматной доске так, чтобы на каждой горизонтали и на каждой вертикали белых фишек было ровно в два раза больше, чем чёрных?