Олимпиадная задача по планиметрии для 8-10 класса: угол между диагоналями

  Докажем, что точка D – центр описанной окружности треугольника ABC. Это можно сделать различными способами.   Первый способ. Опишем окружность около треугольника ABC и продолжим отрезок BD до пересечения с этой окружностью в точке K (рис. а). Так как  ∠ВKС = ∠ВАС = 20°,  то  ∠KCD = ∠ВDС – ∠DKС = 20°  (угол ВDС – внешний для треугольника KDC). Следовательно,  DC = DK.

  Аналогично, так как  ∠ВKА = ∠ВСА = 35°,  а  ∠ВDА = 70°,  то  ∠KАD = 35°,  то есть  DK = DA.   Второй способ. На луче AD отметим точку М так, что отрезок  DM = DB  (рис. б). Тогда  ∠ DВM = ∠BMD = ½ ∠ВDА = 35° = ∠ВСА, следовательно, точки A, B, C и M лежат на одной окружности.

  Аналогично, отметив на луче CD точку Р так, что  DP = DB,  получим, что точка P лежит на той же окружности. Точка D равноудалена от точек В, М и Р, поэтому она является центром полученной окружности.

  Третий способ. Центр описанной окружности тупоугольного треугольника ABC лежит в той же полуплоскости относительно прямой АС, что и точка D (рис. а, б). Он является пересечением двух ГМТ: из которых отрезок BC виден под углом  α = 2∠ВАС = 40° и из которых отрезок AB виден под углом

β = 2∠ВСА = 70°.

  В указанной полуплоскости эти ГМТ являются дугами окружностей, которые имеют единственную общую точку. По условию, из точки D эти же отрезки видны под такими же углами, поэтому точка D совпадает с центром описанной окружности треугольника ABC.   Пусть T – точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD.  ∠DBA = ½ (180° – ∠BDA) = 55°,  угол BTC – внешний для треугольника BTА, значит,  ∠ВTC = ∠TАВ + ∠АВТ = 75°.

75°.