Олимпиадные задачи из источника «9 класс»
9 класс
НазадСуществует ли натуральное число, которое при делении на сумму своих цифр как в частном, так и в остатке дает число 2011?
В трапеции <i>ABCD</i> биссектриса тупого угла <i>B</i> пересекает основание <i>AD</i> в точке <i>K</i> – его середине, <i>M</i> – середина <i>BC, AB = BC</i>.
Найдите отношение <i>KM</i> : <i>BD</i>.
Найдите наибольшее натуральное <i>n</i>, при котором <i>n</i><sup>200</sup> < 5<sup>300</sup>.
Найдите все простые числа <i>p, q</i> и <i>r</i>, для которых выполняется равенство: <i>p + q</i> = (<i>p – q</i>)<sup><i>r</i></sup>.
В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i>: ∠<i>ВАС</i> = 20°, ∠<i>ВСА</i> = 35°, ∠<i>ВDС</i> = 40°, ∠<i>ВDА</i> = 70°.
Найдите угол между диагоналями четырёхугольника.
Для различных положительных чисел <i>а</i> и <i>b</i> выполняется равенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116018/problem_116018_img_2.png">. Докажите, что <i>а</i> и <i>b</i> – взаимно обратные числа.
Существует ли прямоугольный треугольник, в котором две медианы перпендикулярны?
Пятеро друзей скинулись на покупку. Могло ли оказаться так, что каждые два из них внесли менее одной трети общей стоимости?
Найдите наименьшее натуральное <i>n</i>, при котором число <i>А = n</i>³ + 12<i>n</i>² + 15<i>n</i> + 180 делится на 23.
В остроугольном треугольнике <i>АВС</i> угол <i>В</i> равен 45°, <i>АМ</i> и <i>CN</i> – высоты, <i>О</i> – центр описанной окружности, <i>Н</i> – ортоцентр.
Докажите, что <i>ОNHМ</i> – параллелограмм.
Известно, что 5(<i>а</i> – 1) = <i>b + a</i>². Сравните числа <i>а</i> и <i>b</i>.
На доске записаны числа 1, 2<sup>1</sup>, 2², 2³, 2<sup>4</sup>, 2<sup>5</sup>. Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность – неотрицательное число.
Может ли на доске в результате нескольких таких операций остаться только число 15?
В равнобокой трапеции <i>AВСD</i> основания <i>AD</i> и <i>ВС</i> равны 12 и 6 соответственно, а высота равна 4. Сравните углы <i>ВАС</i> и <i>САD</i>.
На координатной плоскости изображен график функции <i>y = ax</i>² + <i>c</i> (см. рисунок). В каких точках график функции <i>y = cx + a</i> пересекает оси координат? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116009/problem_116009_img_2.gif"></div>
Какое наибольшее число белых и чёрных фишек можно расставить на шахматной доске так, чтобы на каждой горизонтали и на каждой вертикали белых фишек было ровно в два раза больше, чем чёрных?