Олимпиадная задача: Наименьшее значение x² + y² для многочлена в 9–11 классах

  x² – y² + 6x + 4y + 5 = (x + 3)² – (y – 2)² = (x + y + 1)(x – y + 5) = 0.

  Таким образом, график полученного уравнения состоит из двух прямых  y = – x – 1  и  y = x + 5, которые пересекают ось ординат в точках

(0, –1)  и  (0, 5)  (см. рис.).  x² + y²  – квадрат расстояния от точки  M(x, y)  до начала координат, поэтому, его значение будет наименьшим, когда M – основание перпендикуляра, опущенного из точки  О(0, 0)  на ближайшую к этой точке прямую. Учитывая, что обе прямые отсекают от осей координат равнобедренные прямоугольные треугольники с катетами 1 и 5, получим, что ближе к точке О находится прямая  y = – x – 1,  тогда  OM  = 0,5.

0,5.